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二次函数的图像与性质
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
5. 二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
六、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
/ 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
4.利用二次函数与轴的交点的个数来确定判别式的符号，利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范围。有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

二次函数的图像与性质
应用举例：
例1：小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2） ；（3）；（4） ； （5）. 你认为其中正

确信息的个数有（C）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
1
1

O
x
y

例2：已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；/②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（ C ）
A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
例3：小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（ C ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
分析：④错误.由得；由前面的分析知，又由题图知当时，，将代入中得.
【练】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（ C ）．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
分析：由图可知，，从而，①错误；又当时，②错误；由抛物线的对称轴为直线知，当与时函数值相等，所以③正确因为，所以④正确；因为二次函数的对称轴为直线，所以当时，函数取得最大值，即当时的函数值小于当时的函数值，所以，得，所以⑤正确.
例4：如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ①③ ．（只要求填写正确命题的序号）
分析：由图知①③正确且，所以，所以②错误；由①正确得，所以，所以④错误.

【练】1. 已知二次函数的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为－1，由图象可知关于的方程的两根为 －3 ．
2.二次函数图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：
①＜0；②＜0；③＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是　 ④ 　（把正确的序号都填上）．
分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，得，，与轴的另一个交点为，所以，.
例5：在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ C ）
x
y
O
Ａ．
x
y
O
Ｂ．
x
y
O
Ｃ．
x
y
O
Ｄ．

例6：（1）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
答：，交点坐标

（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－4）三点，求二次函数的解析式；
答：

例7：已知函数是关于的二次函数，求：
（1）求满足条件的的值；
（2）为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
答：（1）或；

例8：（1）利用配方求函数的对称轴、顶点坐标。

（2）利用公式求函数的对称轴、顶点坐标。
，
例9：已知二次函数的图象的对称轴是，且最高点在直线上，求这个二次函数的解析式。
答：
例10.如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（－4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标．
答：，P的坐标为或
例11.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。
答：，C，D，，所以，P的坐标为或.
二次函数练习试题
一、选择题
1. 二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2. 函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
3. 已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
4. 已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（　　　）
Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3　
5. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或

二、填空题
6. 二次函数的对称轴是，则_______。
7. 已知抛物线，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 .
8. 一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
9. 抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

三、解答题：
10. 已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).
第15题图
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?

11. 如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。