初中数学竞赛试题及答案汇编.doc

全国初中数学竞赛初赛试题汇编
（1998-2018）

目录
1998年全国初中数学竞赛试卷 1
1999年全国初中数学竞赛试卷 6
2000年全国初中数学竞赛试题解答 9
2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 14
2002年全国初中数学竞赛试题 15
2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 17
2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 25
2005年全国初中数学竞赛试卷 30
2006年全国初中数学竞赛试题 32
2007年全国初中数学竞赛试题 38
2008年全国初中数学竞赛试题 46
2009年全国初中数学竞赛试题 47
2010年全国初中数学竞赛试题 52
2011年全国初中数学竞赛试题 57
2012年全国初中数学竞赛试题 60
2013年全国初中数学竞赛试题 73
2014年全国初中数学竞赛预赛 77
2015年全国初中数学竞赛预赛 85
2016年全国初中数学联合竞赛试题 94
2017年全国初中数学联赛初赛试卷 103
2018 年初中数学联赛试题 105

1998年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1、已知a、b、c都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（　　）
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
2、如果方程的两根之差是1，那么p的值为（ ）
（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ）
3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）
（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18
4、已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限
（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四
5、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（ ）
（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个
二、填空题：每小题6分，共30分）
6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。
9、已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。
10、B船在A船的西偏北450处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

三、解答题：（每小题20分，共60分）
11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。

12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值。
13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

解 答
　　1．根据不等式性质，选B．．
　　2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由
(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，

　　3．如图3－271，连ED，则

又因为DE是△ABC两边中点连线，所以

故选C．
　　4．由条件得

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．
　　当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．
　　y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．
　　 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，
　　的可以区间，如图3－272．

+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．

　　6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所　

　　7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以

　　8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为

　　当圆环为50个时，链长为

　　9．因为a≠0，解得

故a可取1，3或5．

　　10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，
A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，
所以

　　11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为
∠ABE＋∠AEB=90°，
∠CED＋∠AEB=90°，
所以 　　　　　∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以

又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以

所以

　　解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为
∠ABE＋∠AEB＝90°，
∠FEH+∠AEB=90°，
所以 　　　　∠ABE=∠FEH，
　　于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为

所以

　　12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

有两个相等的实根，于是

　　(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得
　　　　a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，
　　　　a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，
　　　　a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169
　　　　　＝987a＋610，
　　　　a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610
　　　　　=2584a＋1597．
又

因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即
(8a+5)(8a-13)=-1．

所以
a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．
　　13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是
　　W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
　　 　　　　　　　　=-800x＋17200．

　　W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．
　　 由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．
　　(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是
　　W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)
　　　　　　　　　 　=-500x-300y+17200．

W=-500x-300y+17200，
　　且

　　　　　　　　W=-200x-300(x+y)+17200
　　　　　　　　 ≥-200×10-300×18＋17200=9800．
　　当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又
　　　　　　W=-200x-300(x＋y)＋17200
　　　　　　 ≤-200×0-300×10+17200=14200，
　　当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．

1999年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，
　　C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）

　　1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）．
　　　A．11 B．12 C．13 D．14

　　2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）．
　　　A．60元 B．66元 C．75元 D．78元

　　3．已知，那么代数式的值为（ ）．
　　　A． B．－ C．－ D．

　　4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ）．
　　　A．30 B．36 C．72 D．125

　　5．如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（ ）．
　　　A．1 B．2 C．3 D．4

　　6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ）．
　　　A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

　　7．已知，那么x2 + y2的值为　　　　 ．

　　8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是　　　　　　 （0＜x＜10）．

　　9．已知ab≠0，a2 + ab－2b2 = 0，那么的值为　　　　　　　 ．

　　10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是　　　　　　 ．

　　11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是　　　　　　 ．

　　12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两
台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机　　　　　　 台．

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

　　13．设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．

　　14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

　　15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：
　　　　．
　　　（1）（10分）证明：可以得到22；
　　　（2）（10分）证明：可以得到2100 + 297－2．

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D

二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11．　12．6

三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：
　　　　　　．
　　　　　　又∵st≠1，
　　　　　　　∴，t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有
　　　　　　　．
　　　　　　即st + 1 =－99s，t = 19s．
　　　　　　　∴．

　　14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．
∵AB=BD，O是圆心，
　∴BH⊥AD．
又∵∠ADC=90°，
　∴BH∥CD．
从而△OPB∽△CPD．
　，
　∴CD=1．
　　　　　　　　　　于是AD=．
　　　　　　　　　　又OH=CD=，于是
　　　　　　　　　　AB=，
　　　　　　　　　　BC=．
　　　　　　　　　　所以，四边形ABCD的周长为．

　　15．证明：
　　　　　（1）
．
　　也可以倒过来考虑：
．
（或者．）

（2）

．
　　或倒过来考虑：

．
　　注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．

2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，
∵a＞b＞c，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。

答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线y=平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x＝－1＋4N，y＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。

答：（B）。由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝a+c，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1则S与S1的大小关系一定是（ ）。
（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。
答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然，即S＞S1；②设，则，S＝10，，则S1＝×100＞10，即S＜S1；③设，则，S＝10，，则，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。
二、填空题
7、已知：，那么＝________。
答：1。∵，即。∴
。
8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。

答：66＋6（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，∴。
9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。
答：5。①当时，；②当时，易知是方程的一个整数根，再由且是整数，知，∴；由①、②得符合条件的整数有5个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么＝________。
答：。直线通过点D（15，5），故BD＝1。当时，直线通过，两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。
（注：×100％）
答：17％。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为×100％，依题意得：
×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故这种商品原来的利润率为×100％＝17％。
三、解答题
13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。
（1）若，求的值。
（2）求的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以
，∴。根据题设，有。
（1）因为
，即。
由于，故。

（2）

。
设上是递减的，所以当时，取最大值10。故的最大值为10。

14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积。
解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝。
∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
∴，∵E是AC的中点，∴，
，∴，∴。
15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）
解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：
设电梯停在第层。
①当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。
②当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。
③当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
④当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
⑤当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：

当x＝27，y＝6时，s＝316。
所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。

2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷

选择题（30分）
1、化简，得（ ）
（A） (B) (C) (D)
2、如果是三个任意整数，那么 （ ）
（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数
3、如果是质数，且那么的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如图，若将正方形分成个全等的矩形，其中上、 1 2
下各横排两个，中间竖排若干个，则的值为（ ） ……
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
3 4
5、如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB
交于点D,且PB=4，PD=3，则ADDC等于（ ） P
（A）6 （B）7 （C）12 （D）16
D C
A B
6、若是正数，且满足，则之间的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）不能确定
填空题（30分）
7、已知：。那么
8若则的值为
9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于

10、销售某种商品，如果单价上涨％，则售出的数量就将减少。为了使该商品的销售总金额最大，那么的值应该确定为

11、在直角坐标系中，轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标

12、已知实数满足，那么t的取值范围是
解答题（60分）
13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）

14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。
求证：. P

S A

C
O T

15、已知：关于x的方程

有实根。
求取值范围；
若原方程的两个实数根为，且，求的值。
,

2002年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为
A、 B、 C、2 D、3
2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为
A、0 B、1 C、2 D、3

3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于
A、 B、
C、 D、
4、设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值
A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

5、设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是
A、＜a＜ B、a＞
C、a＜ D、＜a＜0
6、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于
A、 B、
C、 D、a＋b
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，
则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。

8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为 。

9、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。

10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，
这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。

11、满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 ___________个。

12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。

三、解答题（每小题20分，共60分）
13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。
求证：
（2）求证：

15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。
证明：（1）2a、2b、c都是整数；
（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）

1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则的值等于 (　　 ).
(A) (B) (C) (D)
2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).
(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元
3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.
(A)360° 　　 (B) 450°　　 (C) 540° 　 (D) 720°

4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.
(A)2个 　 (B)3个 　　 (C)4个 　 (D) 6个
5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).
(A)1种 　　 (B)2种 　 (C)4种 　 (D) 0种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知，那么 .

7．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为 .

8．观察下列图形：

① ② ③ ④

根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .

（第9题图）
9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60º CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_______m.

10．已知二次函数（其中a是正整数）的图象经 过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
解：

(第11题图)

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
解：

(第12题图)

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

(第13 B题图)

14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求的最小值.

注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值.
解：

(第13A题图)

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，cd，都有≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由.
解：（1）

（2）

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题
参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）
1．D
由 解得 代入即得.
2．D
因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.
3．C
如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，
而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

(第3题图)
(第4题图)

4．D
显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。
（1）若AB=9，当CD=x时，，；
当CD=5时，，；
当CD=1时，，.
（2）若AB=x，当CD=9时，，；
当CD=5时，，；
当CD=1时，，.
故x可取值的个数为6个.
5．B
设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，