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集合与函数、导数部分易错题分析
1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.
2．你会用补集的思想解决有关问题吗？
3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？
[问题]:、 、 的区别是什么？
4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？
5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？
[问题]:如何解不等式：？
6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？
7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？
[问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.
什么是映射、什么是一一映射？
[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A到B上的映射，那么可以作 个A到B上的一一映射.
9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？
[问题]：已知函数求函数的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位）
[问题]：已知函数图象与的图象关于直线.
10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？
11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗?
[问题]：已知函数上，恒有，则实数取值范围是： 。
12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法）
13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？
[问题]：写出函数的图象及单调区间.时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？
[问题]：证明“函数的图象关于直线对称”与证明“函数与函数的图象关于直线对称”有什么不同吗？
例题讲解
1、忽略的存在：
例题1、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．
【错解】AB，解得：
【分析】忽略A=的情况.
【正解】（1）A≠时，AB，解得：；
（2）A= 时，，得.
综上所述，m的取值范围是（,
2、分不清四种集合：、、、的区别.
例题2、已知函数，，那么集合中元素的个数为…………………………………………………………………………（ ）
（A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2
【错解】：不知题意，无从下手,蒙出答案D.
【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征.事实上，、、、分别表示函数定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式的解集.
【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点.即本题选C.
3、搞不清楚是否能取得边界值：
例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范围.
【错解】因为BA，所以：.
【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚.
【正解】因为BA，所以：.
4、不理解有关逻辑语言：
例题4、“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴M的元素都不是P的元素；⑵M中有不属于P元素；⑶M中有P的元素；⑷M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有……………………………………………………………（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 　 （D）4个
【错解】常见错误是认为第（４）个命题不对.
【分析】实际上，由“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题知非空集合M不是集合P的子集，故“M的元素不都是P的元素”（M的元素有的是、有的不是集合P的元素，或M的元素都不是P的元素）是正确的.
【正解正确答案是B（2、4两个命题正确）.
5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小：
例题5、若a<0, 则关于x的不等式的解集是 .
【错解】x<－a或x >5 a
【分析】把解集写成了不等式的形式；没搞清5 a和－a的大小.
【正解】{x|x<5 a或x >－a }
6、不能严谨地掌握充要条件的概念：
例题6、题甲“a，b，c成等比数列”，命题乙“”，那么甲是乙的………………（ ）
（A） 充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又非必要条件
【错解】选C
【分析】若a，b，c成等比数列，则若，则有可能.
【正解】正确答案为：D
7、考虑充要条件时，忽略了前提条件：
例题7、△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的…………………………………（ ）条件
（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D） 非充分非必要
【错解】错选A
【分析】实际上，由“A=B”能推出“sinA=sinB”；在△ABC中，由正弦定理及“sinA=sinB”，可知，从而有“A=B”成立.
【正解】正确答案为C.
8、不能正确地理解有关概念，导致推理错误：
例题8、已知直线m、n和平面、，其中m、n，则∥的一个充分不必要条件是：……………………………………………………………………………………（ ）
（A）⊥,⊥ （B） m∥, n∥
（C） ∥,∥ （D）内不共线的三点到的距离相等
【错解】错选A.
【分析】注意：寻找的是一个充分不必要条件.
学生往往错误地认为：∥某条件，且某条件不能推出∥.
而实际上，应该是：某条件∥，且∥不能推出某条件.
【正解】正确答案为C.
9、逻辑推理混乱：
例题9、使不等式成立的充分而不必要的条件是…………………（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【错解】搞不清所要求的条件和不等式的关系.
【分析】所要求的“某条件”满足：（1）“某条件”不等式成立；
（2）“某条件”不等式成立；
【正解】正确答案为：B
10、不会用“等价命题”推理：
例题10、设命题p：|4x－3|≤1，命题q：，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 .
【错解】常见错误解答是：.
【分析】解答此题比较好的思路是：由p是q的必要而不充分条件得知p是q的充分而不必要条件，然后再解两个不等式，求a的取值范围.
【正解】正确答案是.
11、不注意数形结合，导致解题错误.
例题11、曲线与直线有两个不同交点的充要条件是
【错解】误将半圆认为是圆.
【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路.
【正解】可得正确答案为：
二、函数部分
1、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称.
例题1、函数的奇偶性为
【错解】偶函数.
【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误.
【正解】实际上，此函数的定义域为[－1，1），正确答案为：非奇非偶函数
2、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识：
例题2、，若时，，则x1、x2满足的条件是 ；
【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题.
【分析】可以判断出f(x)是偶函数，且在上是增函数.
【正解】由f(x)在上的图象可知答案为.
3、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：
例3、函数当时，则a的取值范围是…（ ）
（A）（B） （C） （D）
【错解】只想到一种情况，选D
【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论.
【正解】正确答案为：C
4、不理解函数的定义：
例4、函数y=f(x)的图象与一条直线x=a有交点个数是……………………………（ ）
（A）至少有一个 （B） 至多有一个 （C）必有一个 （D） 有一个或两个
【错解】选是A、C或D
【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集A到非空数集B的映射，故定义域内的一个x值只能对应一个y值）.
【正解】正确答案为：B
变式、在同一坐标系内，函数的图象关于…………………（ ）
（A） 原点对称 （B）x轴对称 （C）y轴对称 （D） 直线y=x对称
【错解】没有思路.
【分析】要知道两函数的图象关于y轴对称.
【正解】的图象由的图象向左平移1个单位而得到，＝ 的图象由的图象向右平移一个单位而得到.故选C.
基础练习题
1、已知函数，，那么集合中元素的个数为（ C ）
A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2
2、已知函数的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数的定义域和值域分别是（ C ）
A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]
3、已知0＜＜1，＜-1，则函数的图象必定不经过（ A ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4、将函数的图象向左平移一个单位得到图象，再将向上平移一个单位得图象，作出关于直线对称的图象，则对应的函数的解析式为（ B ）
A B.
C. D.
5、已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是（ D　 ）
A. B. C. D.
6、函数在下面的哪个区间上是增函数（ B ）
A. B. C. D.
7、设，、，且＞，则下列结论必成立的是（ D ）
A. ＞ B. +＞0 C. ＜ D. ＞
8、方程和的根分别是、，则有（ A ）

A. ＜ B. ＞ C. = D. 无法确定与的大小
9、若、是关于的方程（）的两个实根，则的最大值等于（ C ）
A. 6 B. C. 18 D. 19
10、若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是（ C ）
A. 在上是增函数 B. 在上是增函数
C. 在上是减函数 D. 在上是增函数，在上是减函数
11、已知奇函数在上单调递减，且，则不等式＞0的解集是（ B ）
A. B. C D.
12、不等式≤在上恒成立，则实数的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
13、方程至少有一个负的实根的充要条件是（ C ）
A. 0<≤1 B. ＜1 C.≤1 D. 0<≤1或< 0
14、在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是C

（A） （B）

（C） （D）

15、函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时， =（ B ）
A. B. C. D.
16、函数的图象关于原点中心对称，则B
A. 在上为增函数
B. 在上为减函数
C. 在上为增函数，在上为减函数
D. 在上为增函数，在上为减函数
17、且＜0，则的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
18、二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是（ D ）
A B. C. D. [2,4]
19、已知函数的图象如图所示，
则 （ B ）
A. B.
C. D. 0 1 2

20、设，，，则的面积可能是 （ A ）
A. 1 B. C. 4 D. 4
二、填空题：
21、函数（＞-4）的值域是____________________.
22、函数的值域是__________________
23、函数的值域是_________________________.
24、若实数满足，则=______10____.
25、设定义在区间上的函数是奇函数，则实数的值是_________2______________.
26、函数（<-1）的反函数是_______.
27、函数在（1，+）上是增函数，则实数的取值范围是____________________.
28、已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______.
29、已知函数是定义在R上的偶函数，当＜0时， 是单调递增的，则不等式＞的解集是____________.
30、已知对任意都有意义，则实数的取值范围是______________
31、函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是______________________.
32、函数的值域是______.
33、对于任意，函数表示，，中的较大者，则
的最小值是_________2___________________.
34、已知＞1，＞＞0，若方程的解是，则方程的解是____________________.
35、已知函数（≠0）在区间上的最大值为1，则实数
的值是____或________________.
36、对于任意实数、，定义运算*为：*=，其中、、为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数，使得对于任意实数，都有*=，则=____________4_____.
37、已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_____或 ___________________.
38、若函数（>0且≠1）的值域为，则实数的取值范围是___或_____________.
39、若曲线与有且只有一个公共点，为坐标原点，则
的取值范围是________.
40、若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数.已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________________.
41、正实数x1，x2及函数，f (x)满足，则的最小值为 （ B ）
A．4 B． C．2 D．
42、已知函数，则“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件
43、一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f (x)的值域为（－1，1）；
乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；
丙：若规定对任意恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有（ D ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
44、已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____
(答：))；
45、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过k个
格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①；②
③；④其中是一阶格点函数的有 ①②④ .（填上
所有满足题意的序号）
46、已知二次函数为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切.
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数上是单调减函数，求k的取值范围.
（1）∵f（x+1）为偶函数，∴
恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0　　　∴b=－2a
∴
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程有两相等实数根，
∴，
（2）∵，

，故k的取值范围为
47、已知三次函数在和时取极值，且．
(1) 求函数的表达式；
(2) 求函数的单调区间和极值；
(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．
解：(1) ，
由题意得，是的两个根，
解得，．
再由可得．
∴．
(2) ，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，．
∴函数在区间上是增函数；
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是，极小值是．
(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，
所以，函数在区间上的值域为（）．
而，∴，即．
于是，函数在区间上的值域为．
令得或．
由的单调性知，，即．
综上所述，、应满足的条件是：，且．
48、定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为____ (答：)；
49、函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)
50、如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是__ (答：)．
51、已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。
52、已知函数在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大，）
53、函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）
54、设集合，，，则_____（答：）　
55、，如果，求的取值。（答：a≤0）
56、已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　（答：）
57、若函数的导函数为，则函数的单调递减区间是（C ）
（A） （B） （C） （D）
58、定义在R上的函数，它同时满足具有下述性质：
①对任何
②对任何则 0 .
59、已知全集U=R，集合，则
A． B．
C．{（1，－2）} D．（ ）
60、若y＝3|x|(x∈[a，b])的值域为[1，9]，则a2＋b2－2a的取值范围是（　　）
A．[2，4]　 B．[4，16]　　C．[2，2]　　D．[4，12]
61、若函数内为增函数，则实数a的取值范围（A ）
A． B． C． D．
62、 (12分)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，，其中温度的单位是，时间的单位是小时。t=0表示12:00, t取正值表示12:00点以后。若测得该物体在8:00的温度为8,12:00的温度为60,13:00的温度为58,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率。
（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00,14:00）何时温度最高？并求出最高温度。
（1）依题意得

解得：a=1,b=0,c=－3,d=60 故T(t)=t3-3t+60
（2）=0,得：
比较T（－2）,T（－1）,T（1）,T（2）知，在10:0014:00这段时间中，该物体在11:00和14:00的温度最高，且最高温度为62.