一阶微分方程市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

第十章 常微分方程与差分方程,嘉兴学院,10/10/2021,第,1,页,10.2 一阶微分方程,形如,称为一阶微分方程。,第1页,第1页,10.2.1 可分离变量微分方程,方程称为,可分离变量,微分方程.,解法,为微分方程解.,分离变量法,形如,第2页,第2页,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,第3页,第3页,例2.,求微分方程,通解.,解:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数),或,阐明:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此也许增、,减解.,(此式含分离变量时丢失解,y,=0,),第4页,第4页,例3.,解初值问题,解:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数),故所求特解为,第5页,第5页,例,求解微分方程通解,第6页,第6页,例.,求下述微分方程通解:,解:,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解:,第7页,第7页,解,分离变量法得,所求通解为,第8页,第8页,练习:,解法 1,分离变量,即,(,C,0,),解法 2,故有,积分,(,C,为任意常数),所求通解:,积分,第9页,第9页,思考与练习,求下列方程通解:,提醒:,(1),分离变量,(2),方程变形为,第10页,第10页,10.2.2 齐次方程,微分方程称为,齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,得,可分离变量方程,1.定义,第11页,第11页,第12页,第12页,例4,求解微分方程,微分方程通解为,解,第13页,第13页,例5,求解微分方程,解,第14页,第14页,微分方程解为,第15页,第15页,(,h,k,为待,*可化为齐次方程方程：,作变换,原方程化为,令,解出,h,k,(齐次方程),定常数),第16页,第16页,求出其解后,即得原方,程解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:,上述办法可适合用于下述更普通方程,第17页,第17页,例4.,求解,解:,令,得,再令,Y,X,u,得,令,积分得,代回原变量,得原方程通解:,第18页,第18页,得,C,=1,故所求特解为,思考:,若方程改为,如何求解?,提醒:,第19页,第19页,一阶线性微分方程,原则形式:,上面方程称为,齐次,.,上面方程称为,非齐次,.,比如,线性;,非线性.,10.2.3 一阶线性微分方程,第20页,第20页,齐次方程通解为,1.一阶线性齐次方程,一阶线性微分方程,解法,由分离变量法,第21页,第21页,2.一阶线性非齐次方程,讨论,两边积分,即非齐次方程通解形式,对照,第22页,第22页,用,常数变易法,:,则,故原方程通解,即,即,作变换,两端积分得,第23页,第23页,一阶线性非齐次微分方程通解为:,相应齐次方程通解,非齐次方程特解,第24页,第24页,解,例6,第一步，求相应齐次方程通解,第25页,第25页,解,例6,第二步，常数变易法求非齐次方程通解,第26页,第26页,解,例7,第27页,第27页,例8,解,方程化为,其中,第28页,第28页,因此,第29页,第29页,例9,如图所表示，平行于 轴动直线被曲 线 与 截下线段PQ,之长数值上等于阴影部分面积,求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,即,第30页,第30页,所求曲线为,第31页,第31页,例3.,求方程,通解.,解:,注意,x,y,同号,由一阶线性方程,通解公式,得,故方程可变形为,所求通解为,这是以,为因变量,y,为自变量一阶,线性方程,第32页,第32页,*伯努利(Bernoulli)方程:,伯努利方程原则形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程通解.,解法:,(线性方程),伯努利,第33页,第33页,例4.,求方程,通解.,解:,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,第34页,第34页,思考与练习:,判别下列方程类型:,提醒:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,第35页,第35页,利用变量代换求微分方程解：,解,代入原方程,原方程通解为,第36页,第36页,例11,用适当变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,第37页,第37页,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,（一阶线性微分方程）,第38页,第38页,小结:,1.可分离变量微分方程:,分离变量法,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,可分离变量微分方程解法：,第39页,第39页,3.线性非齐次方程,2.齐次方程,齐次方程解法,线性非齐次方程解法,第40页,第40页,思考题,1.求解微分方程,2.方程,是否为齐次方程?,第41页,第41页,思考题解答,为所求解.,第42页,第42页,2.方程两边同时对 求导:,原方程,是,齐次方程.,第43页,第43页,第44页,第44页,例,解方程,例,求方程,第45页,第45页,1.,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提醒:,令,则有,线性方程,利用公式可求出,第46页,第46页,思考练习题:,求解微分方程惯用办法之一是通过变量代换将给定微分方程化成可求解形式。,第47页,第47页,(雅各布第一 伯努利),书中给出伯努利数在诸多地方有用,伯努利,(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下曲率半径公式,1695年,版了他巨著猜度术,上一件大事,而伯努利定理则是大数定律最早形式.,年提出了著名伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他初次给出了直角坐,17出,这是组合数学与概率论史,另外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有进一步研究.,第48页,第48页,