一阶微分方程解法及应用市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高 等 数 学 习 题 课,一阶微分方程解法及应用,习题课,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,第七章,(1),三、课外练习题,10/10/,1,高 等 数 学 习 题 课,第1页,第1页,一、一阶微分方程求解,1.一阶原则类型方程求解,关键:,区别方程类型,掌握求解环节,2.一阶非原则类型方程求解,变量代换法 代换,自变量,代换,因变量,代换,某组合式,几种原则类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,P315,题,7,10/10/,2,第2页,第2页,例,1,求下列方程通解,提醒:,(1),故为分离变量方程:,通解,10/10/,3,第3页,第3页,方程两边同除以,x,即为齐次方程,令,y=u x,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量地位,用线性方程通解公式求解.,化为,10/10/,4,第4页,第4页,办法 1,这是一个齐次方程.,*办法 2,化为微分形式,故这是一个全微分方程,(下册内容),.,10/10/,5,第5页,第5页,解,此方程为一个可分离变量微分方程分离,因,变量，,得,例2,求解方程 ,两边积分，得,即得原方程通解,10/10/,6,第6页,第6页,解,原方程变形后为齐次方程,例3,求解方程 ，,作变换 ，,移项，得,则有,10/10/,7,第7页,第7页,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件解为,由初始条件 ，,即原方程解为,10/10/,8,第8页,第8页,解,原方程变形为,即,例4,求微分方程 通解,此是关于函数 一阶线性非齐次线性微,由求解公式得,分方程，,10/10/,9,第9页,第9页,10/10/,10,第10页,第10页,例,5,求下列方程通解:,提醒:,(1),令,u=x y,得,(分离变量方程),原方程化为,P315,题,7,10/10/,11,第11页,第11页,令,y=u t,(齐次方程),令,t=x,1,则,可分离变量方程求解,化方程为,10/10/,12,第12页,第12页,练习题:,求以,为通解微分方程.提醒:,消去,C,得,求下列微分方程通解:,提醒:,令,u=x y,化成可分离变量方程:,P353,题,1，2，3(1),(2),(3),(5),(10),P353,题,2,P353,题,3,10/10/,13,第13页,第13页,提醒:,可化为,关于,x,一阶线性方程,提醒:,这是一阶线性方程,其中,10/10/,14,第14页,第14页,原方程化为,即,则,故原方程通解,提醒:,令,10/10/,15,第15页,第15页,分离变量，得,两边积分，得,例6,求解微分方程 ,解法1,作代换 ，,此方程为齐次方程，,则有,10/10/,16,第16页,第16页,故方程通解为,即,由于,10/10/,17,第17页,第17页,*解法2,故方程通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令,方程变形为,则有,10/10/,18,第18页,第18页,例,7,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,)在(,+),内满足下列条件:,(1)求,F,(,x,)所满足一阶微分方程;,(2)求出,F,(,x,)表示式.,解,(1),因此,F,(,x,)满足一阶线性非齐次微分方程:,03,考研,10/10/,19,第19页,第19页,(2),由一阶线性微分方程解公式得,于是,10/10/,20,第20页,第20页,例8,设河边点,O,正对岸为点,A河宽,OA,=,h,一鸭子从点,A,游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性拟定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点,O,提醒:,如图所表示建立坐标系.,设时刻,t,鸭子位于点,P,(,x,y,),设鸭子(在静水中)游速大小为,b,求鸭子游动轨迹方程.,O,水流速度大小为,a,两岸,则,关键问题是正确,建立数学模型,要点:,则鸭子游速,b,为,10/10/,21,第21页,第21页,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子实际运动速度为,(求解过程参考P306例2),(齐次方程),10/10/,22,第22页,第22页,思考:,能否依据草图列方程?,练习题:,P354 题 5 ,6,已知某曲线通过点(1,1),轴上截距等于切点横坐标,求它方程.,提醒:,设曲线上动点为,M,(,x,y,),令,X,=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它切线在纵,P353,题,5,10/10/,23,第23页,第23页,已知某车间容积为,新鲜空气,问每分钟应输入多少才干在 30 分钟后使车间空,含量不超出 0.06%?,提醒:,设每分钟应输入,t,时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气不久混合均匀后,以相同流量排出),得微分方程,(假定输入新鲜空气,输入,改变量为,P353,题,5,10/10/,24,第24页,第24页,t=30,时,解定解问题,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气.,初始条件,得,k,=?,10/10/,25,第25页,第25页,一点处水流速度与该点到两岸距离乘积成正比(百分比系数,选取题,小船从河边点 出发驶向对岸(两岸为平行线)，设,船速为 船行方向始终与河岸垂直又设河宽为 ，河中任,为 )，求小船航行路线,解,如图建立坐标系统，并使水流方向与 正向一,致设时刻 时，小船位于,处，则,10/10/,26,第26页,第26页,其初始条件为,先解得 ，再由初始条件得 ，即,代入到第一个方程中，即有,解得,10/10/,27,第27页,第27页,再由初始条件，得 即小船航行曲线为,或消去参数 ，得,10/10/,28,第28页,第28页,三、课外练习题,1求下列方程通解：,1)；,2)；,3)；,4)；,5),10/10/,29,第29页,第29页,2设 是连续函数，且满足,求 ,3已知光滑曲线 过原点和点 ，任取曲线上点,，过 作两坐标轴平行线 和 与 轴及,曲线所围成面积等于 与 轴及曲线围成面积2倍,求,曲线方程,10/10/,30,第30页,第30页,