三二重积分换元法市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,*三、二重积分换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分计算法,第十章,第1页,第1页,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积计算可知,若,D,为,X,-,型区域,则,若,D,为,Y,-,型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,第2页,第2页,当被积函数,均非负,在,D,上,变号,时,因此上面讨论累次积分法仍然有效.,由于,第3页,第3页,阐明:,(1)若积分区域既是,X,-,型区域又是,Y,-,型区域,为计算以便,可,选择积分序,必要时还能够互换积分序,.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-,型域或,Y,-,型域,则,第4页,第4页,例1.,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围闭区域.,解法1.,将,D,看作,X,-,型区域,则,解法2.,将,D,看作,Y,-,型区域,则,第5页,第5页,例2.,计算,其中,D,是抛物线,所围成闭区域.,解:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及直线,则,第6页,第6页,例3.,计算,其中,D,是直线,所围成闭区域.,解:,由被积函数可知,因此取,D,为,X,-,型域:,先对,x,积分不行,阐明:,有些二次积分为了积分以便,还需互换积分顺序.,第7页,第7页,例4.,互换下列积分顺序,解:,积分域由两部分构成:,视为,Y,-,型区域,则,第8页,第8页,例5.,计算,其中,D,由,所围成.,解:,令,(如图所表示),显然,第9页,第9页,二、利用极坐标计算二重积分,相应有,在极坐标系下,用同心圆,r,=常数,则除包括边界点小区域外,小区域面积,在,内取点,及射线,=常数,分划区域,D,为,第10页,第10页,即,第11页,第11页,设,则,尤其,对,第12页,第12页,此时若,f,1 则可求得,D,面积,思考:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,改变范围是什么?,(1),(2),第13页,第13页,例6.,计算,其中解:,在极坐标系下,原式,原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,第14页,第14页,注:,利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用反常积分公式,事实上,故式成立.,又,第15页,第15页,例7.,求球体,被圆柱面,所截得(含在柱面内)立体体积.,解:,设,由对称性可知,第16页,第16页,*三、二重积分换元法,定积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一相应,第17页,第17页,证:,依据定理条件可知变换,T,可逆.,用平行于坐标轴,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换,T,在,xOy,面上得到一个四边,形,其相应顶点为,则,第18页,第18页,同理得,当,h,k,充足小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,第19页,第19页,因此面积元素关系为,从而得二重积分换元公式:,比如,直角坐标转化为极坐标时,第20页,第20页,例8.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成闭域,.,解:,令,则,第21页,第21页,例9.,计算由,所围成闭区域,D,面积,S,.,解:,令,则,第22页,第22页,例10.,试计算椭球体,解:,由对称性,令,则,D,原象为,体积,V,.,第23页,第23页,内容小结,(1)二重积分化为累次积分办法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,第24页,第24页,则,(2)普通换元公式,且,则,极坐标系情形:,若积分区域为,在变换,下,第25页,第25页,(3)计算环节及注意事项,画出积分域,选择坐标系,拟定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽也许多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充足利用对称性,应用换元公式,第26页,第26页,思考与练习,1.设,且,求,提醒:,互换积分顺序后,x,y,互换,第27页,第27页,2.,互换积分顺序,提醒:,积分域如图,第28页,第28页,作业,P152 1,(2),(4),;,2,(3),(4),;,5;6,(2),(4),;,11,(2),(4),;,13,(3),(4),;,14,(2),(3),;,15,(1),(4),;,*,19,(1),;,*,20,(2),第三节,第29页,第29页,解：,原式,备用题,1.,给定,改变积分顺序.,第30页,第30页,2.,计算,其中,D,为由圆,所围成,及直线,解：,平面闭区域.,第31页,第31页,