1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五节 三重积分(二),一、,利用柱面坐标计算三重积分,二、,利用球面坐标计算三重积分,三、小结 练习题,第1页,第1页,要求：,一、利用柱面坐标计算三重积分,柱面坐标：,第2页,第2页,柱面坐标与直角坐标关系为,在柱坐标系中，三个坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,柱坐标实质就是将,xoy,面上点用极坐标表示。,问题：如何在柱坐标系中计算三重积分？,第3页,第3页,如图，柱面坐标系中体积元素为,同二重积分同样，首先要将三重积分转化为柱,坐标下三重积分形式。,问题：,在柱坐标下，体积元素,再将柱坐
2、标下三重积分,化为三次积分。,在直角坐标系中,第4页,第4页,问题：如何将柱坐标下三重积分化为三次积分？,此为,柱坐标表示,首先将,用,柱面坐标表示,第5页,第5页,问题：如何将柱坐标下三重积分化为三次积分？,第6页,第6页,在下列情形下,，比较适合用柱坐标计算,（1）,在坐标面上投影区域用极坐标表示,比较简朴。如,圆柱体：,圆锥体：,旋转抛物面：,（2）,被积函数含有下列特性,第7页,第7页,解,知曲面与平面交线为,第8页,第8页,解,第9页,第9页,解,知两曲面交线为,第10页,第10页,解,第11页,第11页,二、利用球面坐标计算三重积分,球面坐标：,点,M,到原点距离记为,r,有向线段
3、OM,与,z,轴正向夹角记为,，,自,x,轴按逆时针方向旋转到有向线段,OP,角度记为,第12页,第12页,在球面坐标中，要求,球面坐标与直角坐标之间关系,第13页,第13页,球面坐标中，三坐标面分别为,圆锥面,球 面；,半平面,第14页,第14页,问题：如何在球面坐标系中计算三重积分？,在直角坐标系中,在柱面坐标系中,问题：,在球面坐标下，体积元素,第15页,第15页,球面坐标系中体积元素为,问题：如何化球坐标下三重积分为三次积分？,第16页,第16页,问题：如何化球坐标下三重积分为三次积分？,（1）,是一个包括原点在内封闭曲面，则,第17页,第17页,（1）,是一个包括原点在内封闭曲面，
4、则,尤其，,是一个以原点为中心，,a,为半径球面时,当,f,(,x,y,z,)=1,时，球体积,第18页,第18页,（2）,是由锥面,=,及曲面,r=r,(,),所围，则,下列情形适合用球坐标计算,（1）积分区域是球体、锥体,或它们一部分；,（2）被积函数含有形式,第19页,第19页,第20页,第20页,第21页,第21页,第22页,第22页,解,第23页,第23页,解,第24页,第24页,习题,9,5:1,4,7,9,11,14,17,第九章：第五节：三重积分作业（二）,第25页,第25页,三重积分定义和计算,在直角坐标系下体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,三、小结,第26页,第26页,（1）柱面坐标体积元素,（2）球面坐标体积元素,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,第27页,第27页,思考题,选择题:,第28页,第28页,第29页,第29页,练 习 题 1,第30页,第30页,第31页,第31页,第32页,第32页,练习题1答案,第33页,第33页,第34页,第34页,练 习 题,第35页,第35页,第36页,第36页,第37页,第37页,第38页,第38页,练习题答案,第39页,第39页,第40页,第40页,第41页,第41页,
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