量子博弈的性别之战_王常春.docx

第

卷( .) 第 年

期( .) . .
月

.

. .
贵州师范学院学报
JournalofGuizhouNormalColege

Vo.l . No.
Dec.

量子博弈的性别之战

王常春 , 罗东升 , 夏顺友

( . 遵义师范学院数学系, 贵州 遵义 ; . 贵州师范学院数学与
计算机科学学院, 贵州 贵阳 )

摘要: 量子博弈包含古典博弈 , 在某些博弈中可以取得精确的 结果, 在采取相同 的策略时, 取得的 结果是 一致的 。 采用量子理论的分析方 法与古典博弈分析方法 , 分析性别之战 , 例析这一结果 。
关键词 : Nash平衡; 策略; 支付
中图分类号 : O . 文献标识码 : A 文章编号 : - ( ) - -
Thebatleofsexgameon thequantum games
WANGChang- chun, LUODong- sheng, XIAShun- you

( . DepartmentofMathematic,s ZunyiNormalColeg,e Zuny,i Guizhou, . DepartmentofMathematic,s GuizhouNormalColeg,e Guiyang, Guizhou,

Chin
China)

Abstrac:tQuantumgamesincludeclasicalgames. Somequantum gamescangetpreciseresult.s Ifwetakethe samestrategie,s we cangetthesameresult.s Thisarticleanalyzesthebatleofsexesandtheresultsbyusingtheway ofquantum theoryandtheclasicalgames.
Keywords:Nashequilibrium; strategie;spayof

引言
所谓的 “性别之战 ”不是真正的战斗 : 它是一 对爱人之间的冲突 (参见 [ ] )。 业余 时间 Alice 和 Bob都希望在一起 , 如果他 们不在一起 , 他们 的支付 分别为 { , }。 Alice的支付为第 一个数 字, Bob的支 付为 第二 个数 字。 Alice喜 欢看 芭 蕾, 记为 ; Bob喜欢看足球, 记为 T。双方都看芭 蕾支付为 { , }, 双方 都看足 球支 付为 { , }。
Alice和 Bob都选择各自喜欢的节目, 他们就不能 相互交流 。 不论是选择看芭蕾还是看足球 , 他们 都希望在一起 。 每个行动都是集合 { , T}中的一 个元素, 博弈如表 :
表 性别之战
Bob (, ) (, ) T
Bob T (, ) (, )
Alice Alice


看表 , 有两个 Nash平衡点 : ( , O)和 (T,
T)。单方面地离 开他们的 平衡点, 支 付值更小 。 对于 Alice和 Bob都有一个最优战略。性别之战所 反映出的深刻问题是, 人类的个人理性有时能导致 集体的非理性, 局中人怎样决定他们的行动呢?
首先, 我们引入量子理论的分析方法, 分析性 别之战, 应用了 [ ] 、[ ] 、[ ] 、[ ] 中的一些重要 概念, 状态函数、振幅 (几率幅)等, 对经典性别之战 作了进一步分析, 得到与经典博弈相同的结果 , 所 得的结果是对经典性别之战的 Nash平衡的新补 充 . 量子博弈包含古典博弈, 在某些博弈中可以取 得精确的结果, 在采取相同的策略时, 他们取得的 结果是一致的。
预备知识
. 状态函数 (Dirac记号 )
下面的简单向量对我们的目的十分有用 :

＊收稿日期 : - -
基金项目 : 遵义师范学院科研基金资助 ( )
作者简介 : 王常春 ( - ), 男, 硕士, 河北张家口人, 遵义师范学院数学系讲师 。
— —

u〉 = , 〈 u=

d〉 = , 〈d=
对 于 任 意 向 量 x〉 = , 则 〈 x =
m＊, n＊ , 其中 m＊, n＊ 是 m, n共轭复数 , 这 就是 Dirac记号, 其中 〈x称为左矢, x〉称为右 矢, 左矢是行向量, 右矢是列向量 。注意我们可采 用如下形式 :
u〉 〈d = = , 其 中
u〉〈d〈d把 d〉改变为 u〉, 把 u〉变为 ×
零向 量, 即, u〉〈dd〉 = u〉〈dd〉 = u〉,
u〉〈d d〉 = 。
U 〉 = ( 〉 +i 〉 )
sB U 〉
x
= U+ ( p q. +p q. σ
σ U
=p q 〉 +pq 〉 +p q 〉
+p q 〉
则 Alice的期望支付:
vA= pq + pq + p q+ p q= p q
u= , d=
为了方便起见, 我们改变 u和 d的记号, 把它 们记为 × 向量和 × 复共轭转置。

m
n

. 振幅
让我们考虑如下形式的量子状态 ψ, 其中 a 和 b可以是复标量 : ψ=au+bd。
态 ψ是态 u和态 d的叠加。
在量子计算中, 这个叠加 维状态被称为 qu-
bt其中 a和 b是振幅, 处于 u态的概率为 a , 处于 d态的概率为 b , 其中 a + b = 。
(对于一个复数 a,它的复共轭为 a＊, aa＊ = a＊ a = a , 令 a=b= , 则处于 u态或 d态的概
率为 = , 其中 u和 d是正交的。 (即, u
和 d的内积为 , u和 d它们自身的内积都为 ) 主要结果
我们看量子策略怎样改变这种情况的呢 ? 令 映射 O〉※ 〉, T〉※ 〉 。然后应用幺正矩 阵 U,到初始状态 〉。
x
U= ( + )
第一次应用 U之后, 系统状态变为

象前面一样, Alice和 Bob都知道 U和初始状 态 〉。
我们允 许 Alice和 Bob在它 们各自 的 qubit

上选择 策略集 S={ , σx }中的行动 , 然 后应用 U+ 到上面结果。 最后状态在囚徒困境中已经给
出, 但是期望支付不同, 如表 :
表 有量子行动的性别之战
Bob Bob σ
x
Alice
Aliceσ
(, (,
(, ) (, )
)
)
x
下面来考虑混合策略, 通常, 有第三个隐藏的 Nash平衡点。 我们考虑纯 策略集为 { O, T}的混
合策略, 它们对应的量子算子为
们仅需考虑 和 σz的凸组合 。 Nash平衡, 假定在混合 策略中,
{ , σz }, 这样我 为了找到第三个
Alice看芭蕾 (选
择 O)有概率 p, 看足球的概率为 p (选择 T )。 Bob看芭蕾 (选择 O)有概率 q, 看足球 (选择 T)
的概率为 q。 由前面知 Alice和 Bob采取了他们
的行动后系统的最后状态变为

ψf〉 = U+ sA = U+ [ ( p.
σ )] U 〉
+ p. σx ) ( q. + q.

x+ p qσx σx ) U 〉
U 〉 +p qU+ 〉 +pqU+ 〉 +pqU+
〉
+ p qσx

=p
σ

σ
q
U
x
x
σ U
x
x

+ - p - q
vB= pq + pq + p q+ p q= p q
+ - p - q

对 p 求 导,
- q =
解上式得到
使 得 vA最 大 : vAp = q -

q = , 类似地可得 p = 。

给我们的直觉混合策略 ( , )应该是一 个较好 的策 略, 下面 我们 将 混合 策 略 ( +
σx, + σx )和混合策略 ( + σx,
+ σx )产生的支付作一比较, 列表如下 :

— —

σ
表
Bob Bob σx Bob + σx Bob + σ
( , )

, )
x
( , )

( , )
x
Alice σ
+

+
Alice
( , )
( , )
Alice
Alice
(, )
(, )
( ,
x
(

(
(

(
(

(
)

)
)

)
)

)
( ,
σ
)
)
x
,
,
,
,
,
,

表 混合策略 ( + σx, + σx ) 不是 Nash平衡点, 混合策略 ( + σx,
+ σx )是一个新的 Nash平衡点, 而且优于混合
策略 ( + σx, + σx )。 我们可看出, 有两个平衡点的博弈, 混合策略能产生新的平衡 点。
下面我们用古典概率来分析他们得到最大支 付的概率, 在性别之战博弈中 , Alice和 Bob的策 略空间为 : { (看 芭 蕾, 看足 球 ), (看芭 蕾, 看 芭 蕾 ), (看足球 , 看足球 ), (看足球 , 看芭蕾 )}, 其 中第一个坐标记 Alice的策略, 第二个坐标记 Bob 的策略 。记 Alice看芭蕾 (选择 )有概率 p, 看
足球的概率为 p (选 择 T)。 Bob看 芭蕾 选择 )有概率 q, 看足球 (选择 T)的概率为 q。
则 Alice的期望支付:
vA= pq + pq + pq + p q= p q + - p - q
vB= pq + pq + pq + p q= p q + - p - q

在本文中, 量子策略为 与古典博弈中共同 采取某策略是一致的, σz与古典博弈中表示单独 采取某策略是一致的 , 区别之处在于古典博弈中 对于一个人来说只有这两个策略, 而量子博弈中, 局中人可才取的策略较多 , 例如, 策略 H等, 本文
的例子中如果两人都采取策略 H, 依本文算法得
到的支付为 , , 显然不如本文提到的混合
策略好, 当然我们也可以尝试策略集为 { H, σx } 的策略空间等, 在有些博弈甚至采取某个策略 , 会 使局中人永远取得最大支付。

参考文献 :
[ ] 张维迎 . 博弈论与信息经济 学 [ M]. 上海: 上 海人民出 版社, .
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[ ] 曾谨言 . 量子力学 [ M] (第二版 ) (卷 I). 北京: 科学出 版社, .

对 p 求 导, 使 得 vA最 大 : vAp = q
- q = theInternationalSocietyofDynamicGames(Volume ,
AdvancesinDynamicGames). Breton, M ichèl Sz
解上式得到 q = , 类似地可得 p = 。 jowsk,iKrzysztof(Eds.). ABirkhuserBostonproduc,t
: - .
这样混合策略 ( , ) ( , )是一个 [ ] Kay-YutChenandTadHogg. HowW elDoPeoplePlay
tionProcesing, , ( ): - .
新的 Nash平衡点 . 由此看出用古典概率分析性别 aQuantum Prisoner' sDilemma[ J]. Quantum Inform
之战与量子博弈分析性别之战取得的结果是一致
的 。这说明古典博弈包含于量子博弈 , 在取相同 [责任编辑: 雍进军 ]
的策略空间时, 取得的结果是一致的。

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