曲面与空间曲线.pptx

山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案整理得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：坐标平面xOy的方程：z=0 过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c 坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0;y=0;x=a;y=b 山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案 3.球面方程：球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+z-z0)2=R2例例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案 一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论：分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。4.母线平行于坐标轴的柱面方程：山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案圆柱面；椭圆柱面；双曲柱面；抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。几种常见柱面：x+y=a 平面；山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案4.旋转曲面：一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论：设yOz平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0，将c绕 z轴旋转一周，所得到的以z轴 为轴的放置曲面的方程为：山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面绕y轴为以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面绕z 轴得曲面例例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面方程。解解：将yOz面上的直线z=yctg 绕z轴旋转一周即得圆锥曲面整理后得：其中a=ctg山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案二.空间曲线及其方程：1.空间曲线的一般方程：空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为称此方程组为曲线c的一般方程。例例4：方程组表示怎样的曲线？解解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上半径为1的上半球面例 方程 表示怎样曲线解：表示中心在原点，半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy面上的一个圆，其圆心在 ，半径为山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案2.空间曲线的参数方程：方程组称为空间中曲线的参数方程。设空间曲线方程如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组并有它解出y=（x），Z=Z（x）得例 如果空间一点M在圆柱面 x2+y2=a2 上以等角速度 绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向 移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z由 变到 这说明当 转过角 时，点沿螺旋线升了高度 ，即上升的高度与 转过角度成正比。山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案 三.空间曲线在坐标面上的投影：在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲线，简称投影，其方程为同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为和山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案解 消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程为3x2+2y2=1例 求曲线L：在三个坐标面上的投影曲线投影曲线方程投影曲线方程消去x得Z=1-y2投影曲线方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程为3x2-2Z-1=0投影柱面方程为Z=1-y2山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案的交线是一条空间曲线例 两个柱面 和 山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案 例例5：求曲线在xOy面上的投影方程。解解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为从而曲线在xOy面上的投影方程为山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案四 二次曲面通过截痕法，了解二次曲面的全貌1.椭球面与三个坐标面的交线均为椭圆若a=b,则 旋转椭球面山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案2 单叶双曲面Z=h 截,截痕为一椭圆。山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案x=h，或y=h截,截痕为一双曲线。2）当 时，截痕为一对直线1）当 时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平行与z轴，当 由零增大到b时，曲线的两半轴缩小至零。3）当 时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚轴平行与x轴，当 由 b增大时，曲线的两半轴也增大。山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案同样用平行于yoz的平面相截时截痕也是双曲线，可用同样的方法讨论。这是单叶旋转双曲面。当a=b时，方程变为3 双叶双曲面双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面Z=h截，截痕为山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案当x=h，或y=h截，截痕为双曲线4 椭圆抛物面当 时为椭圆当 时无截痕，当 时是两点（0，0，）山东水利职业学院数理化教研室山东水利职业学院数理化教研室应用数学应用数学精品课程精品课程电子教案电子教案5 双叶抛物面6 二次锥面