Ch5-大数定律及中心极限定理.pptx

第一节第一节 大数定律大数定律l先介绍 r.v 序列几种收敛性的定义 1几乎处处收敛：设X1，X2，是定义在同一概率空间（，F ，P）上的 r.v 列，如果 则称 r.v 列 几乎处处（或依概率1）收敛于 ，记为 （或a.s）第一节第一节 大数定律大数定律2依概率收敛：若对任意的 0，有 （或：）则称 r.v 列 依概率（或随机收敛）收敛于 r.v X，记为 第一节第一节 大数定律大数定律3依分布收敛（或弱收敛）：设 r.v X，Xn各自 d.f 为 F(x)和 Fn(x)，若在F(x)的每一连续点 x 处，有 则称 r.v 列 Xn 依分布收敛于 r.v X，记为 或 第一节第一节 大数定律大数定律4依 r 阶平均收敛：设对某r0，若有 则称 r.v 列Xn依 r 阶平均（矩）收敛到 X，记为 以上四者之关系为 第一节第一节 大数定律大数定律l大数定律的数学定义：设Xn是 r.v 列，记 ，an是常数列。若 0，有 即 则称Xn（按算术平均值）服从大数定律。命题命题1 车比雪夫定理车比雪夫定理 （由车比雪夫在（由车比雪夫在1866年证明的）年证明的）设Xn是相互独立的 r.v 列，若存在c0，使DXnc，则Xn服从大数定律。证明：取 ，Xn相互独立，故 从而由车比雪夫不等式，有 第一节第一节 大数定律大数定律推论：设 r.v 列Xn相互独立，且 ，存 在，则Xn服从大数定律。例如某容器内有很多气体分子，它们在不断地运动，每个气体 分子运动是随机的，在一定温度下容 器内某部分气体分子的动能的算术平均值几乎 是一个常数。命题命题2 贝努利定理（贝努利定理（Bernoulli Th）在 Bernoulli 试验中，设事件 A 在每次试验中出现的概率为p，记 nA为前 n 次试验中A出现的次数，则 0，有 即第一节第一节 大数定律大数定律证明：令 则Xk，k1相互独立，且 DXk=pq1（EXk=p），由命题1知 由此Th可知，为什么在实际中，可用频率去代替概率的道理。命题命题3 泊松定理（泊松定理（Poisson Th）设在独立试验中，事件A在第k次试验中出现的概率为pk以nA表示前n次试验中A出现的次数，则有 证明：令 则由 ，再由命题1即可得证。命题命题4 辛钦定理辛钦定理 设Xk，k1是 i.i.d r.v 列，则Xk服从大数定律的充分必要条件是X1有有限的期望（证明参见王梓坤：概率论基础及其应用）大数定律的意义和应用大数定律的意义和应用l车氏命题1说明：当 n 很大时，n 个 r.v 的算术平均值与其期望平均值相差很小的可能性很大，即 故在测量中，常用测量数据的算术平均去代替测量值。大数定律的意义和应用大数定律的意义和应用l 贝氏命题2说明：试验次数很大时，可用事件出现的频率代替事件出现的概率。由命题2知：实用中，希望 相当地小，比如 只要 即可。第一节第一节 大数定律大数定律例：设在具有n个任意开、关的电路试验中，假定在每次试验中，开 或关的概率均为 ，用K表示n次试验中遇到开电的次数，欲使 开关频率 与 的绝对值之差小于0.01，且要求99%以上的可 靠性保证其实现，试问试验次数n至少多大？解：这里 ，=99%，解出 t=10 强大数定律强大数定律 如果 r.v 列 Xn 满足 或 ，特别当 时，则称服Xn从强大数定律。强大数定律强大数定律lKolmogorov Th 设Xn相互独立，且 ，则Xn服从强大数定律。lBorel Th 设在Bernoulli试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0p1），nA 表示前 n 次试验中A出现的次数，则 或 Borel Th（续）（续）证明：事实上，令 ，故Xn服从强大数定律。第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）先看例1：已知某些型号芯片的次品率为0.01，出厂时每千 只装一盒，问其中次品个数介于5到20只的概率p？解：令 故得到Xk的分布为 X 1 0 P 0.01 0.99第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例1（续）Xk是相互独立，记 ，则 为一盒中可能出现的次品个数，所以 按题意 现在设法寻找一个近似计算上式的方法或公式。第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例2：设炮弹射击的目标位置是原点(0,0)，弹差点 (X,Y)，设X-落点与目标 0 沿 x 轴的偏差是 随机d，产生偏差原因有：瞄准误差X1，炮弹 或炮身结构误差X2，空气阻力引起误差X3，炮 手的技术、心理误差X4，等等故 ，各Xk相互独立，考察X的分布CLT，即要解决许多独立 r.v 之和的极限分布，数学上一般提法：第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例2（续）设Xn是 r.v 列，且EXn，DXn均存在，记 若 实数x，有 则称Xn服从CLT，记为第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）lTh1：设Xn，n1是i.i.d r.v 列，且 ，则Xn 服从CLT，此时 ，lTh2：（De Moivre-Laplace Th）设 r.v (n1)是具有参数 n、p(0p1)的二项分布，则对任意区间a，b，有 Th 2 De Moivre-Laplace Th（续）（续）证明：令 为Bernoulli试验中事件A出现的次数，而P(A)=p，记 则 ，各Xk相互独立同分布，并且 故Xki.i.d 的，所以由Th 1 知 从而De Moivre-Laplace Th（续）（续）由此Th 2 可计算例1的P()：事实上，n=1000，p=0.01 np=10 ，故 第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例3：一加法器同时收到20个噪声电压Vk，()，各 Vk是相互独立 r.v，且均服从U(0,10)，记 ，求P(V105)。解：Vk的d.l为 第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例3（续）故 第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）对于Xn独立非同分布情况，引进下述的Linderberg条件，即 0，有 其中 ，第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）该 Lin 氏条件是使各 Xk 所引起的影响“均匀地小”，即 第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）lTh 3（Linderberg Th）设相互独立 r.v 序列Xn满足Linderberg条件，则Xn服从CLT。lTh 4（李雅普诺夫定理）若对独立 r.v 序列Xn满足：存在某一 0，使有 则Xn服从CLT。Th 4 李雅普诺夫定理（续）李雅普诺夫定理（续）证明：只要验证Lin氏条件成立即可 事实上，在一般证明题中，可以取 ，只要验证 即可CLT与大数定律之关系与大数定律之关系l大数定律只断定，0，但不知 的具体值。l而CLT则给出它一个近似值，即在Xni.i.d 时，有 （，k1）第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例4：抛掷硬币1000次，要求出现正面次数在440 与K次之间的概率约为 或（），求 K 值。（记X为出现正面次数）第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例4（续）解：记n=1000，已知每次掷硬币出现正面概率为p=，np=500，先计算 查表得到K=500。第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例5：现有一大批种子，其中良种占 ，今在其中 任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占 的比例与 之差小于1%的概率是多少？第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例5（续）解：任选6000粒可看作6000重Bernoulli试验，良种占 ，记 则 表示在6000粒种子中有良种的粒数第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例5（续）由题意欲求第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例6：抽样检查产品质量时，若发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率(p)为0.1。问至少应抽多少件产品检查才能保证 拒绝接受该产品的概率达到0.9？第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例6（续）解：设n为至少应抽取的产品件数，为其中次品件数，令 则 ，由 De Moivre-Laplace Th 有第二节第二节 中心极限定理（中心极限定理（CLT）例6（续）（当n充分大时，）故 查表知 ，解得