1、曲线积分期末复习一、对弧长的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 三、格林公式四、曲线积分与路径无关的条件一、对弧长的曲线积分的计算一、对弧长的曲线积分的计算1.基本方法第一类曲线积分(对弧长)(1)若曲线由转化定积分参数方程：（3）若曲线由极坐标方程：(2)若曲线由直角坐标方程：注意1：第一类曲线积分的上下限:下小上大机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、练习题、练习题 1、计算其中L为下半圆周解（法解（法1）：）：利用极坐标,原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 注意2：曲线积分的积分区域是关于x,y的等式，因而被积函数中的x,y满
2、足积分曲线L的方程所以可直接代入化简积分因子。法法2：曲线方程为原式 2、计算其中L为圆周解解:利用极坐标,原式=3.计算 且周长为解：由于积分曲线方程为其中L为椭圆4.设空间曲线L为曲线积分（）提示：由于交线中有所以从而5.设L为左半圆周将曲线积分化为定积分的正确的结果是（）提示：直接套公式所以左半圆二二、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算1.基本方法第二类曲线积分(对坐标)转化定积分（1）曲线用参数方程表示（2）曲线用直角坐标方程表示 确定积分上下限：“下始上终”机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.计算其中L为xoy平面 y=b上一段解解:由于积分曲线为由公式化为定积分所以
3、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将代入 中，得2、练习2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为则(2)取 L 的方程为则3.计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、格林公式注意：（1）L为正向曲线（2）具有一阶连续偏导数.2、练习、练习的正向，则曲线积分（）（1）设L取圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、C提示：由于原式=(2).计算其中L 是从点的上半圆周解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 3
4、格林公式应用求面积格林公式应用求面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积例如例如,椭圆所围面积（2）闭区域D是由简单闭曲线L（正向）所围下系列积分不等于D的面积的积分是()提示：C四、曲线积分与路径无关的条件设D 是单连通域,函数在D 内具有一阶连续偏导数 则有1.计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答:(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算其中L为上半圆周提示提示:沿逆时针方向.(3).机动 目录 上页 下页 返回 结束
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