1、第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移1 梁梁的的位移位移挠度，转角的概念挠度，转角的概念2 梁梁的挠曲线近似微分方程及其积分的挠曲线近似微分方程及其积分(重点重点)3 叠加法计算梁叠加法计算梁的的挠度和转角挠度和转角4 梁梁的刚度条件的刚度条件 5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 1 梁梁的的位移位移挠度、转角的概念挠度、转角的概念 弯弯曲曲变变形形：梁梁在在垂垂直直于于其其轴轴线线的的荷荷载载作作用用下下，使使原原为为直直线线的的轴轴线线变变为为曲曲线线的的变变形。形。FAFBABFqMe梁轴线的变形梁轴线的变形轴线是由横截面的形心组成轴线是由横截面的形心组成ABxy平面简图平面简图
2、:由于主要观察轴线变化，荷载可由于主要观察轴线变化，荷载可略去，建立如图略去，建立如图x-y坐标系。坐标系。轴线是由横截面的形心组成轴线是由横截面的形心组成ABxy切线切线法线法线C1C1观察观察x截面形心变形前后的位置截面形心变形前后的位置(小变形小变形)x变形后截面形心变形后截面形心截面截面x 的水平位移相对于的水平位移相对于w为高阶微量为高阶微量 h）的条件下，）的条件下，略去略去x 方向的线位移，方向的线位移，y 方向的线位移是截方向的线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度挠度，用，用 w 表示，单位表示，单位m、mm；角位移是；角位移是
3、横截面变形前后的夹角，称为横截面变形前后的夹角，称为转角转角，用，用 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一条表示，单位弧度。而变形后的轴线是一条光滑连续平坦光滑连续平坦的曲线称为的曲线称为挠曲线挠曲线（弹性曲（弹性曲线）线）。注意：注意：挠曲线是一光滑连续平坦曲线，满挠曲线是一光滑连续平坦曲线，满足数学上的光滑性、连续性。即：足数学上的光滑性、连续性。即：曲线没有间断；曲线没有间断；曲线没有尖点。曲线没有尖点。ABxyABxy 挠曲线在挠曲线在xy坐标系中的数学表达式坐标系中的数学表达式即即挠曲线方程挠曲线方程，可见确定梁的位移，关键，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程：是确定挠曲线方程：w
4、=f(x)挠曲线方程挠曲线方程 tan=w=f(x)在在小变形条件下小变形条件下，tan ，因此，因此，(x)=f(x)转角方程转角方程ABxy挠度挠度wwC1C1x 截面的位移：挠度、转角截面的位移：挠度、转角w=f(x)挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程(x)=f(x)x梁挠度、转角的求解方法：梁挠度、转角的求解方法：求解挠曲线求解挠曲线积分法（基本方法）积分法（基本方法）叠加法叠加法图乘法图乘法 2 梁梁的挠曲线近似微分方程的挠曲线近似微分方程 及其积分及其积分(重点重点)（1）梁）梁的挠曲线近似微分方程的挠曲线近似微分方程（2）积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角(熟练掌握熟
5、练掌握)（1）梁）梁的挠曲线近似微分方程的挠曲线近似微分方程 梁在荷载作用下轴线形状的变化称梁在荷载作用下轴线形状的变化称为变形，一般用为变形，一般用各段梁各段梁曲率的变化表示。曲率的变化表示。纯弯变形纯弯变形中性层中性层MM1/=/l l（1）梁）梁的挠曲线近似微分方程的挠曲线近似微分方程 梁梁纯弯曲纯弯曲时平面弯曲的曲率公式为时平面弯曲的曲率公式为：（4-4）式式（4-4）表表明明梁梁轴轴线线上上任任一一点点的的曲曲率率与与该该点点处处横横截截面面上上的的弯弯矩矩成成正正比比，而而与与该该截截面面的抗弯刚度成反比。的抗弯刚度成反比。取梁中取梁中dx段，横段，横力弯曲变形关系力弯曲变形关系ddxO2O11/(x)=d/dxMM(x)横力弯曲作用下忽略剪力对变形的影横力弯曲作用下忽略剪力对变形的影响，梁纯弯曲的曲率公式响，梁纯弯曲的曲率公式(4-4)式变为：式变为：（a）曲率与挠曲线方程之间存在下列关系：曲率与挠曲线方程之间存在下列关系：(b)小挠度条件下，小挠度条件下，w 2 b,所以所以A b,b2可略去，可略去，x1=0.577 l (wmax wC )/wmax=2.65%结论：结论：只要只要挠曲线无拐挠曲线无拐点，无论什么荷载点，无论什么荷载都可以都可以近似得出近似得出wmax wC。ABl/2FabDxy21CAwmaxwCBl/2
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