《平方差公式》教学设计(陈俊霞).doc

《平方差公式》教学设计
湖北省枣阳市兴隆镇第二中学　　陈俊霞
　　一．教学内容解析
本节是在学生已经掌握了单项式乘法，多项式乘法的基础上的拓展和创造性应用，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的第一种归纳总结，是从一般到特殊的认识过程的范例，它应用十分广泛。通过平方差公式的学习，可以丰富教学内容，开拓学生视野，更是今后学习“因式分解”的互逆变形、“分式运算”的分母有理化、“一元二次方程”中用公式法解方程的重要基础。
平方差公式是初中阶段的第一个重要的公式。在平方差公式的教学中，是一个从数到式的、从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程，构建了一个解决特殊形式的多项式乘法的模型。在教学过程中应重点引导学生探究公式。
因此，本节的教学重点是：经历探索平方差公式，理解掌握平方差公式的结构特征，会运用公式进行计算。
二．教学目标解析
1．根据“探究”会推导平方差公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何背景，并能运用公式进行运算。
2．经历“探究”让学生在应用多项式与多项式相乘的运算时，让学生观察、思考、探究、讨论、归纳、发现平方差公式的结构特征。
3．通过“探究”让学生大胆猜想，然后验证体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
4．在“探究”平方差公式时，让学生一方面可以体验获得结论的过程，另一方面可以获得成功的喜悦。
三．教学问题诊断分析
1．由于学生初次学习乘法公式，要分清平方差公式的结构特征并不容易，所以教学的重点放在认识平方差公式的结构特征所以教学中设计了分层练习，使结构特征一目了然。
2．正确运用平方差的关键，除了要掌握这一公式的结构特征外，还要理解公式中字母的广泛含义，公式中的可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等式子，只要符合平方差公式的结构特征，就可以运用平方差公式。由于学生的能力有一个发展过程，理解字母的广泛含义还有一定的困难，所以教学时要结合上述精神逐步进行，从而突破这一难点。
所以本节课的难点是：理解公式中字母的广泛含义。
四．教学支持条件分析　
为了让学生清楚准确地认清平方差公式的结构特征，正确地运用平方差公式计算，可根据不同的情况，设计教学条件，支持教学。
1．理想的教学应该是多媒体支持下完成：在教学之前，教师制作课件在多媒体上演示，让学生直观准确地认清平方差公式的结构特征。
2．也可采用图表的形式，让学生认清哪个是a，哪个是b，再运用平方差公式进行运算。
五．教学过程设计　
（一）教学基础流程

（二）教学情境　
1．创设情境，引入新课
我镇为迎国庆，开展了“歌唱祖国”文艺联欢会，观众排成了横51人，纵49人的方队，为增加气氛，一人一面小红旗，你能又快又准地说出共需多少面红旗吗？
【设计意图】
问题是思维的开始，让学生带着问题去思考，激发学生的求知欲，并将实际问题转化为数学问题，从而发展学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【师生活动】
教师先利用多媒体课件展示问题，然后带着问题引入新课。
2．动手动脑，探究新知
问题1：计算下列多项式的积，看谁做的又快又准确。
(1) (x＋1)(x－1)＝x2－x+x－1＝x2－1
(2) (m＋2)(m－2)＝m2－2m+2m－22＝m2－22
(3) (2x＋1)(2x－1)=(2x)2－2x+2x－12＝(2x)2－1
观察上面的式子，你发现了什么？
发现：左边 两个数的和与两个数的差的积
右边 　这两个数的平方差
问题2：猜想论证：猜想(a＋b)(a－b)＝？
如何验证？

你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
【设计意图】
不仅复习了多项式乘法运算，让学生思考，你发现了什么？让学生经历计算、观察、比较、归纳提出猜想。动手验证。分层思考，突破难点，让学生合作交流，分组展示成果，由旧获新，突出重点并培养学生观察概括能力及字母表示数的能力。
【师生活动】
分组讨论，引导学生分析等式的结构特征。
3．数形结合，验证新知
活动1：请用剪刀从边长为a的正方形纸片上剪下一个边长为b的小正方形(如图①)，然后拼成如图②的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

　　　　 　　图① 图②
【设计意图】
从几何角度去解释平方差公式不仅验证了公式还重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解和解决有关代数式问题。
【师生活动】
动手动脑相结合
4．分层练习，巩固新知
活动一：
下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是_____________
①(x+y)(x－y) ②(x－y)(y＋x) ③(－m＋n)(n+m) ④(m+n)(m－p)
活动二：
选择(x+5)(x－5)＝____________
A、x2－25 B、25－x2 C、x2+25
活动三：
试一试，你能用平方差公式直接计算下列各式的结果吗？
(a+b)(a－b)
a
b
a2－b2
最后结果
总结规律
(y+3)(y－3)

a，b不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式和多项式
(a+3b)(a－3b)

(1－5b)(1+5b)

(3x+2)(3x－2)

(x+y+1)(x+y－1)

【设计意图】
熟悉公式，如果加深对公式结构特征的理解，利用表格清楚、直观、准确地显示出公式的结构特征。
活动四：
例1：运用平方差公式计算
(1) (3x+2)(3x－2) (2) (b+2a)(2a－b)
(3) (－x+2y)(－x－2y) (4) (y+2)(y－2)－(y－1)(y+5)
【设计意图】
更进一步熟悉公式，体会公式在计算中的优越性以及公式的注意点。只有符合公式特征的乘法，才能运用公式简化计算，其余的运算仍按乘法法则进行。
【师生活动】
学生演板，教师及时纠正。
活动五：
我镇为迎国庆，开展了“歌唱祖国”文艺联欢会，观众排成了横51人，纵49人的方队，为增加气氛，一人一面小红旗，你能又快又准地说出共需多少面红旗吗？
你现在知道需要多少面小红旗了吗？
51×49
＝(50+1)(50－1)
＝502－12
＝2500－1
＝2499
【设计意图】
首尾呼应，不仅解决了问题，又体现了我们学习数学的重要性，学有用的数学。
5．小结
本节课你学到了什么知识？
(1) 平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差这个公式叫做平方差公式，即(a+b)(a－b)＝a2－b2
(2) 公式的结构特征
①公式的字母a，b可以表示数，也可表示单项式、多项式。
②要符合公式的特征，才能运用平方差公式
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式。如：
(x+y＋1)(x－y－1)＝[(x+y) －1][(x＋y) －1]＝(x＋y)2－1
【设计意图】
及时反思，便于学生将数学知识体系化，同时从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受。
6．作业
1． 下面的计算对不对，如果不对应当如何改正？
(1)(x+2)(x－2)＝x2－2 (2) (－3a－2)(3a－2)＝9a2－4
(3) (5x+2)(5y－2)＝25xy－4 (4) (3x－1)(3x－1)＝9x2－1
2．运用平方差公式计算
(1) (a+3b)(a－3b) (2) (3+2a)(－3+2a)
(3) 51×49 (4) (3x+4)(3x－4)－(2x+3)(3x－2)
3．趣味作业
有一位狡猾的地主，把一块边长为a米正方形的土地，租给李老汉种植，今年，他对李老汉说：“我先把你这块地一边减少4米，再把另一边也增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应了。同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？
六．目标检测设计：
1．下面的计算对不对，如果不对应当如何改正？
(1)(x+2)(x－2)＝x2－2 (2) (－3a－2)(3a－2)＝9a2－4
(3) (5x+2)(5y－2)＝25xy－4 (4) (3x－1)(3x－1)＝9x2－1
【设计意图】
及时了解学生对平方差公式的结构特征的熟练性和准确性的掌握，便于调整教学安排。
2．运用平方差公式计算
(1) (a+3b)(a－3b) (2) (3+2a)(－3+2a)
(3) 51×49 (4) (3x+4)(3x－4)－(2x+3)(3x－2)
【设计意图】
体现了将前面所学到的知识有机地、灵活地运用。进一步的综合应用，让学生更加熟练、准确起到强化、巩固的作用，初步发展学生综合运用的能力。
3．趣味作业
有一位狡猾的地主，把一块边长为a米正方形的土地，租给李老汉种植，今年，他对李老汉说：“我先把你这块地一边减少4米，再把另一边也增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应了。同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？
【设计意图】
根据学生特点，安排趣味应用题，一方面，数学来源于生活又实践于生活。激发学生学习兴趣，另一方面也证明狡猾的地主巧用平方差公式为自己谋取利益，而李老汉吃的就是没有文化的亏，说明学习知识的重要性。
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