带电压反馈的励磁系统ESO滑模变结构控制.docx

态观测器的仿真 15
2.3 本章小结 18
第3章 滑模变结构控制理论 20
3.1 引言 20
3.2 滑模变结构控制理论作用机理 21
3.2.1 滑动模态的基本概念及数学模型 21
3.2.2 滑模变结构控制的定义 23
3.3 滑模变结构控制抖振现象 23
3.3.1 滑模变结构控制抖振产生的原因 24
3.3.2 滑模变结构控制抗抖振措施 24
3.4 连续系统的滑模控制 25
3.4.1 滑动模态的存在与到达的条件 25
3.4.2 等效控制 26
3.4.3 滑动模态运动方程 27
3.5 滑模控制器设计步骤 28
3.6 趋近律滑模控制器设计 28
3.6.1 常见趋近律的形式 29
3.6.2 趋近律滑模控制的原理 29
3.7 本章小结 30
第4章 同步发电机励磁系统 31
4.1 发电机励磁系统组成及数学模型 31
4.1.1 同步发电机系统的传递函数 32
4.1.2 发电机励磁调节器的表达式 32
4.1.3 交流励磁机的数学模型 34
4.2 带励磁的单机无穷大系统数学模型的构造 35
4.3 发电机励磁系统运行要求 38
4.4 本章小结 38
第5章 带电压反馈励磁系统ESO滑模控制器设计 40
5.1 微分几何理论相关概念 40
5.1.1 引言 40
5.1.2 仿射非线性系统 40
5.1.3 向量场 41
5.1.4 导出映射的概念 41
5.1.5 Lie导数与Lie括号 41
5.1.6 控制系统的关系度 43
5.1.7 非线性系统的线性化标准型 43
5.2 基于微分几何非线性控制理论特点 46
5.3 带励磁控制的电力系统状态方程及变换 47
5.3.1 带励磁系统的状态方程模型 47
5.3.2 坐标变换 47
5.4 励磁系统控制器的设计 48
5.4.1 构造二价ESO 48
5.4.2 带电压反馈的ESO励磁滑模控制器设计 49
5.5 仿真研究 51
5.6 本章小结 54
结论 55
参考文献 57
攻读学位期间取得的研究成果及发表的学术论文 61
致谢 62

[1-3][4][5][6-8][9-10][11][12-16]第一个阶段是单变量控制阶段，这个阶段的控制规律就是按照发电机的机端电压的偏差的比例或者是按照的比例-积分-微分（PID）来调节的。它们的传递函数如下：
比例调节传递函数为
                                                  （1-1）
PID调节的传递函数为
                                      （1-2）
在上面的两个式子中，发电机的机端电压偏差=，这里，是电压的参考值，为机端电压三相有效值的平均值。对于这两种单变量的控制方式，可以应用控制理论当中的根轨迹法或者是频率响应法就能够确定下来传递函数中的增益，，和的适当范围
对于式（1-2）来说，它的传递函数是由一个比例环节再附加上一个微分环节再与一个惯性环节串联而成的。当惯性时间常数充分大的时候，这个环节的传递函数的分母多项式中的前一项就可以省略掉，这样此环节就相当于一个积分环节，所以将这种调节方式叫做机端电压偏差的PID调节方式[17]。
这种调节方式虽然在一定程度上改善了对单变量反馈的励磁调节系统按电力系统运行的稳定性与按稳态时的电压调节精度对调节器放大倍数要求之间的矛盾，然而却不能更好的有效改良电力系统的动态品质与提高电力系统的稳定水平。所以这种PID的调节方式在整个电力系统运行时的作用也就相当一个可以改变增益的比例调节。
[18]（1）
其实在20世纪50年代末前苏联的学者就提出了这种强力式励磁控制器了。这类的调节器不只是采用了发电机机端电压的偏差的比例跟一次微分，还应用了频率的偏差及其一次微分，又采用发电机定子电流与其一次微分等来辅助反馈量。这种强力式励磁调节器在设计方法上，前苏联学者们采用“双变量域划分法”。因为变量比较多，这种域就要求在许多变量的不同组合下多次画出，从中把他们共同的稳定域找出。这种方法的最大缺点就是非常的麻烦，而且在很多情况下，这个稳定域相当小，就会在确定调节器的参数方面有很多因难，在很大程度上参数的确定要依赖人们的经验，所以这种调节器并没有得到广泛应用。
（2）美国提出的电力系统稳定器（PSS）
PSS励磁调节器是由美国研究者在1969年提出的，这种励磁控制方式就是在其控制规律中，既要保留发电机机端电压偏差的比例-积分-微分那一部分以外，还要附加一个发电机转速或频率的二阶超前校正环节。把这一辅助的镇定环节称为PSS环节。其传递函数为
          （1-3）
式中，为隔直单元的时间常数、为相位补偿调节单元的时间常数、为信号测量单元的时间常数、为增益。
由于PSS的存在，只要其参数的选取与设计适当的情况下，就能起到改善电力系统阻尼特性与小干扰稳定的功能。但是应该说明的是在对于改善小干扰稳定性的目的上来说，这种控制方式依然有两点不足之处：一是当PSS环节中的参数已知时，PSS控制方式在对系统某一对应的较狭窄频带的振荡控制效果较好，但是当电力系统的实际振荡频率在控制器有效抑制振荡频率以外时，PSS的控制效果就会被明显的减弱了。所以很多学者一直都在研究一种可以自动改善PSS参数的“自适应PSS”。第二点就是增加的单变量控制方式即使在小干扰的情况下，也不能给出最佳的控制效果，只是在设计很恰当的时候具有很好的控制效果。
（3）我国推广应用的LOEC励磁控制器
20世纪70年代初期的时候，国际上的一些研究者为了进一步的提高电力系统小干扰稳定性和其动态品质，提出了线性最优励磁控制（LOEC）方式，在此基础上我国学者又进一步的研究最初是由清华大学研究成的线性最优励磁控制器工业样机已在很多水电厂运行。我们通过线性最优控制原理可以知道，线性最优励磁控制规律其实就是电力系统的各状态变量的一种线性组合，对于单机无穷大系统来说，若状态量取为
                    （1-4）
式中，为发电机的机端电压，为发电机的转速，为发电机的有功功率，这样最优励磁控制规律就被表示成
                （1-5）
式中，为励磁电压的变化量，、及是最优的增益系数。
线性最优控制方式在一定程度上弥补了PSS的不足之处，无论是在设计原理方面还是在控制技术方面都有所提高[19-22]。但把这种控制方式用于多机系统的设计上却不能得到分散的最优控制，只能得到分散的次优控制，这也是线性最优控制的一种缺陷。
[23-26][27-30][31][32-34][35-36][37-39]

[40-45]状态观测器就是利用系统外部变量的信息来确定内部的状态变量。即用测量出来的控制量和部分状态量来定系统内部的全部信息。
对于线性的控制系统
                       （2-1）
式中，是维的状态变量，是维的，是维的。以输出和输入作为输入，可以形成一个新的系统
                    (2-2)
式中：阵的选取应适当。现令两个系统的状态变量误差记作

则得到变量满足的方程
          nbsp;                                       （2-3）
这时阵的选取要使矩阵
                      （2-4）
稳定，就会得到，所以。这样系统（2-2）就能近似估计原来的系统。当选取的阵适当时，把新系统（2-2）叫做原来的系统（2-1）的状态观测器。可以写成
                    (2-5)
叫做系统的输出误差。
ESO是利用非线性函数来设计比系统多一维的状态观测器，以此估计扰动量及系统的非线性动态。对于如下系统 ： ，构造扩张状态观测器为
                （2-6）
式中：
                  （2-7）
选取适当的参数，使扩张状态观测器更好的实时估计各个状态：
及被扩张的状态：

下面举个例子具体描述一下扩张状态观测器的机理。
 我们知道非线性状态观测器
                                       （2-8）
能够很好的对非线性系统
                                             （2-9）
的状态，进行很好的跟踪，之后可以把扩成新的变量，记成
                                        nbsp;  （2-10）
并令
这样系统（2-9）就会被扩张为一个线性系统
                                                  （2-11）
对（2-11）这个新系统构造状态观测器
                                   （2-12）
对于参数，，的选取适当，则这个系统就能很好的估计系统（2-11）的状态变量和被扩张出的量。这样把状态观测器（2-12）叫做系统（2-9）的扩张状态观测器（ESO），叫做新扩张的状态。其结构图如下
对象

扩张状态观测器
u
y

图2-1扩张状态观测器结构图
对于扩张状态观测器（2-12）来说，估计以下三种类型的系统
；      ；

的状态与被扩张的状态是没有什么差异的。因为这里不要求这个假定的函数是不是连续的，是不是已知的，只要它是有界的并是已知，就可以选择合适的参数，，使扩张状态观测器（2-12）很好的进行估计。所以扩张状态观测器（2-12）是独立于描述对象传递关系的函数的具体形式的。
如果假设是一个常数，，那么系统（2-11）和系统（2-12）的误差方程为
；                （2-13）
此系统进入稳态时方程右侧收敛于零，此时的稳态误差为
 ，，             （2-14）
只要远远大于，稳态误差就会足够小。
   扩张状态观测器（2-12）中的很好的跟踪的最终原因就是只需系统满足观测条件即可，不管这个函数是什么形式，一定会从输出信息中提取出它的作用量。有了个这被扩张的状态的估计值，只需已知，控制量就可以取为
或                     （2-15）
这样就使系统变成

                        （2-16）
或

                          （2-17）
这样原来非线性的系统就会变成积分器串联的线性控制系统。对于线性系统再去设计控制器就会变得容易很多。但在进行数值仿真的时候，这了消除高频颤抖，可以把函数改成在原点附近具有线性段的幂次函数
                                         (2-18)
[46-51]                    （2-19）
采用扩张状态观测器
                     （2-20）
来估计其状态及扰动，选取适当的参数，，，就可使
                               （2-21）
把控制量取为如下：
    nbsp;                                            （2-22）
那么原来系统就变成线性系统
                                                     （2-23）
现在对这个系统加一个单位阶跃响应来观测一下。先安排适当的过渡过程并提取它的微分信号。此时系统状态误差为，，再取误差的线性反馈
                                          （2-24）
加上扰动补偿之后的误差反馈控制量为
                                            （2-25）
这样系统就成为
                                              （2-26）
对于（2-22）形式的补偿与式（2-25）的反馈控制来讲，只要能够很好的跟踪上，那么系统的抗干扰能力就会增强很多。这就是扩张状态观测器用于控制系统的最大优点。
对下面非线性系统进行数值仿真
              (2-27)
式中，。假设我们已知此系统中函数的输入。经考虑选择用如下离散型的扩张状态观测器
            nbsp;   (2-28)
对上式进行状态和被扩张的状态的实时估计的数值仿真结果如图2-2所示。其中，状态变量，及其估计值，的区别已观察不出来了，但是被扩张的状态及其估计值的差别是可以从图3-7中看得出来。在这里参数取了如下值：=0.01，，=100，=300，=1000。

图2-2 ESO（2-28）跟踪仿真图
在进行数值仿真时，发现估计状态出现较为严重的高频振颤现象，为了避免这种高频振颤现象的出现，把函数改造成下列在原点附近具有线性段的连续的幂次函数
                       (2-29)
式中，为线性段的区间长度。在上面的仿真中我们是在参数和信号为已知的假定下所作的仿真结果。如果参数和信号未知，那么在扩张状态观测器中不能用这个参数和信号，扩张状态观测器只能建成如下形式：
           (2-30)
用这个扩张状态观测器不仅很好地跟踪系统状态，，还很好地跟踪系统中的未知函数。仿真结果如图2-3所示。

图2-3 ESO（2-30）跟踪仿真图
不失一般性，考虑系统
                       （3-1）
的状态空间里，有一个切换面为
                 （3-2）
将其状态空间分为与两个部分。
有三种点会在这个滑面上进行运动，下面简单的介绍一下这三种运动点。
（1） 系统运动的点穿越到达切换面的点叫做通常点。
（2） 系统从切换面的两边离开的点叫做超始点。
（3） 系统运动的点从切换面两边向移动的点叫做终止点。
以及假设有一个控制系统如下：
                              （3-7）
确定切换函数为
                                                    （3-8）
再求解控制函数
                                             （3-9）
其中，

使得
（1）式（3-9）成立即存在滑动模态。
（2）满足可达到性条件。
（3）能够确保滑模运动的稳定性。
（4）不会影响控制系统的动态品质。
这样的控制系统就被叫做滑模变结构控制。
与以及                           （3-10）
也可以写成

通过（3-10）式可以知道系统在滑模区内，系统的状态轨迹会到达切换面并且是在有限的时间内到达，所以也把这个到达条件叫做局部到达条件。上式又可以写成如下形式。
                        （3-11）
对其切换函数有两点要求，一是可微，再一个就是过原点，也就是说。
其中式（3-11）被称为全局到达条件，是与局部到达条件相对应的。再将（3-11）改写成为修正式
                                                  （3-12）
这样就能确保系统能够在有限时间内到达滑模面。上式中且可以取任意小的数值
引入李雅普诺夫函数
                                        （3-13）
因此上式又称为李雅普诺夫函数的到达条件。式中为被定义的李雅普诺夫函数。
或者     =  有时候当系统内部带有未知因素以及有外部干扰作用在系统上时，通常选取的控制律形式往往不单单只是一个等效控制，这时候就需要附加一个可以用来完成那些未知的因素和外部干扰等的鲁棒控制的切换控制，把这个切控制用来表示，这个控制律的形式就改写为
                         （3-20）
有了等效控制这后，将式（3-19）与状态方程（3-14）联立就能得到滑动模态的运动方程。其方程如下所示
                  （3-21）

再将式（3-19）代入到（3-16）所示的线性系统得
                                          （3-22）
为单位矩阵。
从滑模变结构的概念与原理可以了解到，切换函数与滑模变结构的控制律是滑模控制器中两个最重要的部分，这两个部分也是相对独立的。所以滑模控制器的设计其实就是分别来设计这两个部分，也就是切换函数的设计与滑模控制律的设计，下面分别介绍一下这两个部分的设计内容。
（1）切换函数的设计，这部分的设计其实并不复杂，只要设计出的切换函数能够使所预定的滑模面达到一个稳定条件，即让滑模区渐近稳定而且还需要具有良好的动态品质即可。
（2）由3.2小节可知，要使状态轨迹达到预定的滑模面上，沿着它收敛到状态原点，并且能够在切换面上构造出滑动模态区，那就需要所设计的滑动模态的控制律满足到达条件。
   随着各种形式的滑模控制器的出现，用趋近律来设计的滑模控制器因其改善系统的动态品质而渐渐被人们所接受。其实滑模运动并不是单一的运动，其中包含着两个过程，一个是滑模运动过程，另一个就是趋近运动过程。趋近过程也就是的过程。下面先简单介绍一下几种常见的趋近率数学表达式，再描述趋近律滑模控制的具体推导过程。
（1）等速度趋近律
                              nbsp;          （3-23）
式中常数代表的是速率，也是就系统的运动点在到达切换面的快慢程度。小则表示趋近速度较慢，大则表示趋近速度快，但是这样引起的抖振也相应的增大。
（2）指数趋近律
                ，                （3-24）
其中，为指数趋近项。
   从指数趋近律的构成来看是由两部分组成的，第一部分为上面所讲的等速度趋近项，第二部分则为一个单一的指数趋近项。因为在指数趋近过程当中，系统状态轨迹的运动点在到达切换面的时候其速度会减小，也会减短运动点到达切换面的时间。但是如果是单一的指数趋近的话，就不能保证系统可以在有限的时间内到达切换面。因此滑动模态也就不存在了，然而在单一的指数趋近项上附加一个等速度趋近项的话效果就会截然不同。因为当滑模变结构的切换函数慢慢趋向于零的时候，由于等速度趋近项的存在而使得趋近速度不为零，如此一来就可以满足系统有有限时间内到达。
（3）幂次趋近律
            ，                 （3-25）
（4）一般趋近律
                                   （3-26）
其中。
对于如下系统的状态方程
                                              （3-27）
采用趋近律控制方式，其推导如下：

                                             （3-28）
式中表示为趋近律。
   将状态方程（3-27）代到式（3-28）中可得
                                       （3-29）
   由此可知，控制器的抖振问题主要取决于趋近律表达式中的切换项。
   本章先介绍了变结构控制的一些基本概念，了解滑模变结构控制的基本特性一，接着着重分析了滑模变结构控制的基本原理，通过滑动模态的数学模型引出滑模变结构控制的到达条件与滑动模态存在的概念，因为这两点是滑模变结构控制中最关键的问题。虽然滑模变结构控制有其独特的优点，但是滑模变结构控制在本质上会随时间的改变呈现开关特性，因此会引起抖振问题，也这是滑模变结构控制的局限性。所以本文又介绍了系统产生抖振的原因以及减弱抖振的措施。由于本文所描述的系统都为连续时间系统，因而本节只详细说明了连续时间天下系统的滑模变结构控制。对于连续系统的滑模控制，本章首先讲解了滑动模态的存在与到达条件，接着介绍连续时间系统滑模变结构控制的等效控制，最后推出滑动模态的运动方程。本章最后介绍了几咱滑模控制器的设计方法，尤其对用趋近律控制的滑模设计作了重点分析。

在电力系统中发电机的励磁系统由许多相关联的单元组成，其中包括给励磁电流提供的电源装置、调节器、电力系统稳定器、常规的励磁调节器等附属的设备。将这些组成部分又可以归纳成两大系统，一是由直流励磁系统及半导体整流系统所构成的主励磁系统；另一个为励磁调节器及稳定器所构成的调节系统。这两大单元便构成了电力系统发电机的励磁系统。下面重点来分析下我国所生产的设计器的工作机理。
事实上调节器是用来控制励磁系统输出的，而系统的输出信息则是通过机端的电压变化反映出来的，近而达到调节励磁电流的目的。构造出发电机励磁系统的数学模型，主要是为了分析其稳定性以与系统参数的整定及调试，尤其是为了能准确分析出励磁系统对电力系统稳定性的影响。下图4-1为发电机励磁系统的调节原理框图。

图4-1 发电机励磁系统的调节原理框图
在图4-1中：表示端电压；表示定子电流；是补偿与调差环节的输出电压；为励磁机输出电压；表示调节器输出电压；为稳定器输入控制量；表示稳定器输出控制量；是稳定器输出控制量；表示发电机励磁电流；为调节系统参考电压。
在电力系统运行过程中一个复杂元件就是同步发电机了，因为在此过程中既有电磁暂态过程又有机械运动的过程，这样它含有的变量就会很多，从而同步发电机数学模型的构造变得特别重要。但是通常可用一阶惯性环节来表示发电机的传递函数。
                      (4-1)
式中，表示发电机的放大系数，为发电机正常运行时励磁回路的时间常数。
自动电压调节器（AVR）励磁系统的数学模型可以根据电力系统中实际运行的调节器的种类不同来构造其相应的数学模型。其组成部分主要分为电压测量调差补偿单元、误差信号放大单元、PID校正环节、功率放大单元和时间常数补偿单元等。这些环节的模型再加上限幅环节就构成了自动电压调器（AVR）。下面简单的介绍一下主要的模块。
（1）电压测量调差补偿单元
   发电机端电压信号的采集是由电压互感器来完成的，采集出来的信号再通过调差环节进行滤波来消除对其干扰的信号。如果不考虑磁饱和的非线性影响，那么可以把电压互感器比作是一个比例环节，把它的增益记作。调差环节是由低通滤波器组成，其主要任务则是为了消除高频的噪声信号，电压测量单元会将发电机端电压处理完成后再怀电压参考值来作一下比较，将其偏差值再当用控制信号送进放大单元，其原理图如下：

图4-2 电压测量调差滤波单元框图
图4-2中，为由输入发电机端电压及定子电流经调差后构成输出电压，其表达式如下：
                                  （4-2）
整流滤波电路的传递函数可以写成
                                                (4-3)
    式中，为电压测量环节增益；是电压测量环节的等效时间常数。
（2）综合放大单元
综合放大单元一阶惯性环节来处理，其传递函数为
                                                 (4-4)
式中，表示电压放大倍数；是时间常数。因为晶体管运算放大器的动态响应速度非常快，所以一般可近似认为零。
由于此单元还由同步触发器及可控硅整流器构成的，所以分别介绍一下其传递函数。
同步触发器是个无时滞影响的比例环节，其传递函数为：
                                                    (4-5)
可控硅整流器可看成一阶惯性环节，表示为：
                                           (4-6)
式中，：放大倍数；：时间常数。
这样，综合放大单元的传递函数模型就可以表示成为：
                                 (4-7)
式中，：综合放大倍数；。
（3）PID校正单元
此单元通常设有串、并联校正单元，用来提高励磁控制系统的动态稳定性能及改善其调节品质。数学模型框图分别如图4-3、4-4所示。

图4-3 串联校正单元框图           图4-4 并联校正单元框图
图4-3中，为超前滞后补偿时间常数，为增益系数。图4-4的并联校正单元也称反馈校正单元，一般是发电机转子电压的软负反馈环节，即励磁系统稳定器（PSS），它可以用一个惯性的微分环节来表示：
                                                 (4-8)
式中，：转子软反馈单元放大倍数；：转子软反馈单元时间常数。
在电力系统的数学模型描述当中，交流励磁系统的传递函数可以与同步发电机的数学表达式类似，因此可以用同样的数学模型来刻画，其传递函数为
                            (4-9)
式中，表示交流励磁机放大倍数；表示为与负荷有关的励磁回路时间常数。
单机无穷大系统模型[37-39]如图4-5所示：

图4-5 单机无穷大系统
图中，：发电机端电压；：变压器电抗；：输电线路电抗；：无穷大系统母线电压。它的传递函数框图如图4-6：

图4-6单机无穷大系统传递函数框图
本文采用三阶系统模型，用以下三阶微分方程来描述：
                     (4-10)
式中，：发电机转子角速度；：发电机的同步转速；：发电机功角；：发电机组转子的转动惯量；：发电机的输入机械功率；：机组的阻尼系数；：发电机的暂态电势；：发电机d轴暂态总电抗；：发电机d轴总电抗；：发电机d轴同步电抗；：发电机d轴暂态电抗；：励磁绕组时间常数；：发电机励磁电压。
接下来将给出发电机运行中最重要的有三个量推导：端电压、转速及电磁功率。对电力系统发电机控制的主要目的就是在保证这三个量在允许的范围内变化的前提下能够准确地跟踪其给定参考值 [10]。具体推导过程如下:
发电机机端电压表达式为：
                             (4-11)
将上式合并为：

(4-12)
由式（4-11）知，发电机端电压是和的函数，即：
                                             (4-13)
对式(4-11)求导可得：
 (4-14)
再由如下一组代数方程整理可给出输出有功功率的数学表达式：
                                             (4-15)
                              (4-16)
其中，。
由式(4-15) 得，输出有功功率是和的函数，即
                          (4-17)
对式(4-15)求导整理得：
(4-18)
本章详细介绍与分析了发电机及励磁系统各个组成部分及其数学模型。目的是为了更好的研究与解决问题，又将发电机励磁系统调节原理做了详细的说明并讨论了各环节的传递函数。然后利用单机无穷大系统的数学模型得出发电机在动态过程中最得要的三个量，即：端电压、转速和电磁功率的状态方程，作为设计ESO滑模控制器的理论基础。最后又简单的介绍了发电机励磁系统的运行要求，以便更好的使系统安全稳定可靠的运行。

[52-54]                   （5-1）
式中，为状态向量；为控制量；与为维输出函数向量。像式（5-1）这样的非线性系统有其自己独特的特征，与一般常规的非线性系统的区别就在于它即有非线性的关系统，又有线性的关系。因为此系统对于状态向量呈非线性的特性，而对于控制量来说却呈现出一咱线性的关系。把这种类似（5-1）的非线性系统叫做仿射非线性系统。
对于（5-1）中的是维函数向量，在当中任何一个分量都是系统的状态变量的函数。即
                  （5-2）
由式（5-2）可以看出，任何一个被确定的点在系统的状态空间中都会有一个与其相对应的向量，这样把就叫做系统空间的一个向量场。
通过了解导出映射可以更好的理解微分几何理论中坐标变换的理论。首先事先确定一个系统的微分同胚映射
             
在这个同胚映射下，状态空间中的向量场由空间向空间的映谢就叫做向量场在映射下的导出映射。从导出映射的概念可以知道其原理就是一种坐标的变换或者说是一种坐标的运算。
在现代的非线性控制系统理论当中，微分几何是非线性系统中不可或缺的一部分，然而在微分几何的理论当中也有非常重要的两个概念及其运算规则。那就是Lie导数与Lie括号，它们是非线性系统转化为线性系统的理论基础。下面就分别描述一下这两种运算。
（1）Lie导数的定义与运算法则
假设有一个关于的标量函数为和一个向量场

则这个标量函数沿着向量场方向的导数定义为：该函数的梯度向量与向量的标量积
                             （5-3）
式（5-3）定义了一个新的标量的函数，这个的标量函数就称为对的Lie导数，用表示。确切定义如下：
给定一个的标量函数与一个向量场，以的运算
                  （5-4）
所得出的新标量函数定义为函数沿着向量场的导数，称为Lie导数。
（2）Lie括号的定义与运算法则
设有两个同维空间的向量场
与
那么向量场沿着另一向量场方向的导数定义为：
                       （5-5）
式中，与是对应向量场的Jacobian矩阵。
式（5-5）给出一个新的向量场，因为它习惯以括号来表示，因此称为Lie括号。
控制系统的关系度以来表示，它的定义如下：
给出一个非线性系统
                       （5-6）
式中，，与为向量场。如果
（1）输出函数对向量场的阶Lie导数对向量场的Lie导数在的邻域内的值为零。
（2）对的阶Lie导数对的Lie导数在的邻域内的值不为零。
则说系统（5-6）在的邻域内的关系度为。
本文所研究的非线性系统特指为仿射非线性系统的关系度正好等于系统状态向量的维数，两者不相等的情况本文不做介绍。
若有系统

式中，。假设系统的关系度，则根据定义有以下事实成立：
        （5-7）
        nbsp;                    （5-8）
做一个由坐标空间向坐标空间的映射，假如选择
                       （5-9）
则有
                            5-10）
将（5-6）代入上式则有
            （5-11）
由Lie导数定义上式为：
                （5-12）
由式（5-7）知

因此

令
                      （5-13）
有

由于 同样根据式（5-7）知

因此有

再令
                   （5-14）
类推可得
                   （5-15）
直到
              （5-16）
由式（5-8）知

因此（5-16）又可以写成
                     （5-17）
式中
             （5-18）
综合以上内容，可得到一个由到的坐标变换和一个用新坐标系表示的系统。选定的坐标变换为

                        （5-19）
也可写成

此处需要是局部微分同胚。这样，以新坐标系来刻画的动态系统为
                    （5-20）
输出方程为

这样就把原非线性系统转变为如式（5-20）所示的形式。其中前个方程都是被线性化了的，且不显含控制量；只有最后一个显含控制量的方程是非线性的。这就把非线性系统线性化成标准形。
单机无穷大励磁系统三阶模型如下所示：
                   （5-21）
其中，
 ，。
式中：为转动惯量，与 分别为电磁功率、机械功率，为发电机功角，为发电机转速，为阻尼系数，为轴暂态电势，为轴电势，为励磁的控制输入，为发电机定子开路时励磁绕组的时间常数，为无穷大母线电压，与分别为发电机的轴同步电抗和暂态电抗，及分别为计入了输电系统总电抗后的轴总同步总电抗与暂态总电抗
对单机无穷大励磁系统模型可以写成标准仿射非线性形式：
                        （5-22）
，；；    （5-23）
由于整个系统的非线性主要由变量引起，故引入新的状态变量：

根据非线性系统的状态反馈线性化理论选取坐标变换如下：

                 （5-24）
则原系化为
           （5-25）
由经过坐标变换的系统方程不难看出，系统的非线性因素都集中到含有控制输入的方程中。如果直接反馈线性化会让控制器的设计变得复杂，所以本文采用扩张状态观测器观测该部分。
将ESO与滑模变结构控制相结合是本文的一大特点，先将变换后的系统方程用ESO补偿线性化，现利用滑模变结构控制来设计，下面具体分析。
对于（5-25）式是可观测的，从而构造二阶ESO：
                （5-26）
其中用来估计
         （5-27）
取控制量：
               （5-28）
为的估计值。系统变为
              （5-29）
经过扩张状态观测器反馈之后系统变成线性系统，可以按照线性系统来设计，本文采用的是滑模设计。
由于原有非线性系统经过反馈线性化变成式