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上好数学单元小结课，你必须做好这些方面
单元小结课的设计要做知识、方法的梳理和问题链的设计。在知识、方法的梳理过程中，要让学生树立知识的整体观、系统观，体现知识发生发展的内在张力。问题及问题链的构造应反映知识的来源，复演知识的产生过程；反映知识的发展历程，展示知识的独特性、发展性、关联性；体现知识的应用性，展示知识的工具性和功用性，把知识转化为见识。

概念课、命题课、习题课、单元小结课是数学课堂教学的重要课型，这些课型的有序组织，有机配合，相互作用，从不同方面达成了单元教学目标。“头难起，尾难收”，单元小结课不是新授课的简单重复，也不是习题课的简单 “翻录”，而有自身的内在价值和功能。

一、对单元小结课的认识

单元小结课所面临的教学条件与新授课完全不同，其目标和价值取向与新授课也不一样。故而对单元小结课的功能有一个清晰而明确的认识，才能有针对性地采取措施，使小结课更有实效和价值，真正做到 “温故而知新”。

可以从教学研究的角度认识小结课的功能。裴光亚认为，小结课至少要做到三点：把各个局部知识组织成整体，使学生获得的知识系统化；从知识整体中确定出核心内容，建立起核心内容与其他知识的联系，将知识和方法进一步深化；掌握知识的用途和适用范围，将知识转化成能力。

上述表述从知识梳理、方法深化和知识技能化等方面指出了小结课的功能。向立政等认为，小结课的基本任务就是通过全面系统地回顾，归纳概括本章 （单元）主要知识，提炼主要数学思想方法，进而理清知识脉络，建立完整的知识网络，并能运用所学知识分析和解决问题。

周远方等认为，单元小结课不是将所学的数学知识机械地重复和简单地罗列，而是将知识、思想和方法融入问题情境之中，在问题探究的过程中加以归纳总结，使其动态化、系统化、网络化和结构化，形成一个完整的知识结构库和一幅动态的思维导向图。

这两种表述也是围绕知识梳理、知识运用等方面展开的。基本知识、基本技能，以及新增的基本思想方法和基本活动经验，无不以知识习得为基本前提。上述教学研究的结论直接指向知识的结构化、技能化，因此从各种角度深入认识知识及其学习，从而认识单元小结课，既切合课堂教学的实际，也使认识更接近小结课的本真面目。

教育心理学认为，知识是主体与其环境相互作用而获得的信息及其组织，知识的本质是信息在人脑中的表征。根据学习结果和学习过程这两个维度，知识的学习分为三个阶段：知识的习得阶段；知识的巩固和转化阶段；知识的迁移和应用阶段。

第一个阶段，通过新旧知识的相互作用，使新知识进入个体的认知结构。但由于学习的遗忘律等多种因素的作用，习得知识还需要通过认知结构的重建与改组，才能在心理上形成比较稳固的联系。还要通过变式训练，使知识从静止的储存状态转化为产生式系统，获得各种智慧技能。如果能从习得的知识中获得改造世界的方略，能在对习得知识进行反思的过程中获得对自身认知方式、行为方式的认识，获得各种认知策略，能调控自身，这就实现了知识的迁移和应用。

新知识的习得主要在新授课中完成，虽然新授课也能部分地完成知识的巩固和转化，但要真正完成知识的巩固、转化、迁移和应用，还要充分发挥复习课的功能。故不仅有纵向的复习课，还有横向的复习课。纵向的复习课是针对每一大节、每一章的单元小结复习课，横向的复习课就是通常所说的专题小结复习课。因此，从教育心理学的角度看，单元小结课不仅应在新授课的基础上完善学生的认知结构，用一条主线把单元知识贯穿起来，还应在其基础上继续实现知识的技能化，进而使学生的认知上升到一个新的台阶，获得各种智慧技能，顺利地解决问题，获得各种认知策略，发展反思、元认知等能力。

教育学立场下的知识有三个维度：符号表征、逻辑形式和意义。任何知识都是以特定的符号作为表征的，但不能把符号表征看作知识的全部，还要追问符号表征背后的故事。逻辑形式是指获取知识的方式和过程。知识的意义是其内具的具有促进人的思想、精神和能力发展的力量。

基于知识的这种内在结构和功能，符号表征的传递、逻辑形式的生成、知识意义的生成，应该是知识教学价值的三个重要维度。如果采取丰富性教学、回归性教学、关联性教学和严密性教学，新授课就能完成作为认识结果的符号知识的传递，也能使学生获得获取知识的各种方式和方法，甚至能使学生部分地生成知识的意义。但是，学生的认知有一个螺旋上升的过程，把知识置于整体脉络之中认识，与剥离出来认识有着完全不同的意味。

单元小结课更要采取以上四种教学，使知识教育走向深刻。按丰富性教学的要求，单元小结课不仅要把点状知识结成一个整体之网，还要在结网的过程中阐明知识得以产生的过程和方法，以及知识之于人的意义。作为结果的知识是可以量化的，存在于知识的整体网络之中，然而，知识得以产生的方法和过程，以及由此蕴含的意义则是难以言说的，不同的人有不同的感悟。这就要求学生在教师的帮助下，能够把知识的背景依存、经验依存、逻辑依存以及通过形式化、理性化而揭示的知识间的内在关联融为一个整体，通过多层次的反思，获得知识之于个体的意义。可见，单元小结课还要提供丰富的情境问题，要能触动学生经验的调动、方法的领悟、批判反思等精神的形成，从而使个体获得知识背后承载的东西。

从知识论的角度看，知识有内容、形式和旨趣三个维度。数学知识是问题解决之后的结晶。可以是数学内部的问题，也可以是生产、生活实践中产生的问题，以及来自其他学科的问题。数学家常创造性地利用成法解决问题，但更多的是创造新方法解决问题。问题解决之法常和数学家的世界观、方法论有关。但当这些凝固于问题解决的结果之中以后，数学家的灵气和思想则深藏在其中，可以作为思想资源，激发各种不同水平的理解与创造。

科学的数学展开的过程与教学用的数学的过程是不一样的：教学用的数学展开的过程，试图要求学生通过形式到内容到旨趣而掌握数学，而科学的数学却是由旨趣到内容到形式。从形式上，要学习数学知识的思维探索方式、检验方式与表达方式，学习各种从经验中去粗取精的数学化、模型化方法，数学区别于实验科学的逻辑演绎的推理方法，数学的符号化、公理化的表述方式。从内容上讲，数学知识的学习不仅要掌握数学的研究对象与问题，以及作为认知结果的数学概念与原理，还要通过反思，认识数学的学科性质与特点。从旨趣上看，要了解数学知识创造过程中的目标追求与价值取向，因为数学是目标明确的，每个数学概念和方法都有其目的。而且，旨趣制约着知识创造的方向、内容及其形式，是知识创造者在知识中赋予的东西，它潜在于知识之中，可能导致预期的结果。旨趣背后站立的是历史上的伟人，他们的思想、情感及价值观能通过教学这种知识再生产、再传递的方式释放出知识内蕴的教育价值，成为教学中情感、态度及价值观的源泉所在，使体验与感悟，探索、挫折与乐趣走向高品质的学习成为可能。

总之，由于数学学习的特殊性，学生学到的概念、公式、定理都是数学知识的表达形式，要在这个过程中学会数学的语言及思维方式，用数学的语言及思维方式开展探究性学习，还原知识的形成过程，学会数学地观察、思维与探究，形成数学的眼光。在新授课中强调探究性学习，是在知识形式上做文章，至于形式背后的内容是什么，内容背后的旨趣是什么，新授课或许能涉及一些，但这些还需在单元小结课中继续深化。

数学与其他学科相比有一个非常不同的特点：数学构成一个形式运演系统，人可以乐在其中，却不知其在言说什么。从形式系统中跳出来，追求形式背后的东西，可以说是单元小结课的重要任务之一。

单元小结课不是 “炒剩饭”。从上述各种角度的对比分析中，我们可以明确单元小结课的功能。

首先，要梳理作为认识结果的知识，把它们编织成一个整体，使学生学会数学的表述方式，在其中体现数学的逻辑化、系统化精神，其目标指向是塑造学生整体认知结构；其次，要从不同角度认识作为认识成果的知识，使学生能品味其独特性，在其中体现数学的奥妙、独特与伟大之处，其目标指向是培养学生的理性批判、反思等独立个性；再次，要深化作为认识过程的方法，把它们形成一个系统，使学生学会数学的思维方式，在其中体现数学化、符号化精神，其目标指向是培养学生的探索发现精神；最后，要挖掘作为认识源头动力的精神力量，用适当的载体表达出来，在其中体现数学的人文之美、理性之美、精神之美，其目标指向是用数学的内在力量影响学生数学观及世界观的形成，体现数学科学的教育性。

二、单元小结课的教学设计

周远方等指出了单元小结课的一些现状，单元小结课不能演变成题组训练课，不能演变成单元检测讲评课，也不能演变成依托资料式的练习课，而应努力体现知识的思想性和创造性，逻辑性和实证性，工具性和功利性，文化性和精神性。这些目标的达成取决于单元小结课设计的别出心裁。单元小结课的设计根本上说可以分成两大块：知识、方法的梳理和问题链的设计。

（一）对知识、方法梳理的设计

根据关联性教学的要求，知识的符号表征、逻辑方法及思想应融为一体。作为知识梳理典范的，当推 《几何原本》。公理化、形式化、系统化作为一种数学思想可以体现在学生组织知识网络的过程中。以核心知识点为结点，以知识的发生发展为主线，构建多元联系、前后相依、自然连贯的知识序列，是知识梳理的内在要求。知识梳理的外在要求是知识结构可视化，知识脉络清晰化，如，通过图、表或口诀，对知识进行信息加工。在教学中，要引导学生对知识的精要进行浓缩、提炼，以固化的方式表现出来，诊断认知结构的完备性、连通性与稳定性，以采取有针对性的查漏补缺。

方法附着于知识之中，知识梳理的过程也是方法提炼、精神升华的过程。当用一条红线把知识贯通起来时，能看到知识间的演化发展、认知视角的变迁，以及人类精神思想的进化。

以 “复数”为例，在梳理这一章的过程中，我们不但看到知识层面的数系扩充过程中的各种不同类型的数，还看到了方法层面的数系扩充的基本原则，推动数学发展的内在动力，以及人类在 “方程与解”的过程中追求数学和谐统一的精神。

复数概念的建立艰难而曲折，它有多种表示法，这其中就包含了方法论。在梳理方法时，既要注重方法的独特性，又要注意方法的内在关联性，以基本方法为核心构筑方法库。自高斯在复平面上建立复数的表示之后，复数就成了人们心目中的“实”数了，可以算，可以画。这其实启示学生，数与形是数学的两大支柱，从多种角度阐释理论，是加深认识的重要方法，也是发现新知识的重要方法。复数的代数形式、三角形式、指数形式、向量形式，其实是在不同侧面言说同一件事情，这也体现了数学家不轻下断语，多方求证，多向相求的治学精神。

（二）问题链的设计

我们认为，教学的过程应当拟合数学知识的发生、发展过程。在单元小结课中更应如此。当学生对知识、方法有了一定的认识之后，要使知识稔熟于心、方法纯熟于手，对知识和方法有个人的感悟，还需要学生在问题解决的过程中升华认识，能从经验中引导心灵向上，促发精神世界的变化。问题的选配及问题的构造设计是非常关键的一环。

问题及问题链的构造应反映知识的来源，复演知识的产生过程。好的问题可以导致一个学科的诞生，可以再现知识产生过程的曲折性、艰巨性。在单元小结课中，应努力再现推动学科或知识产生的动因。如，复数源于解三次方程的求根问题，意大利数学家邦贝利用使无意义的数变得有意义了，这标志着复数的产生。这就是复数的源头。

复数既然源于解方程，那么就要在 “解方程—构造方程—根与系数的关系”的方法链中，选配精当的问题，充分揭示方程与复数的关系，方程的解与数域的依存关系，弄清楚推动复数产生及数域扩充的根本原因，并理清复数与实数的区别与联系，从而获得对复数之源的充分认识。数学史上有很多历史名题，这些本原性问题经过教学法的加工简化之后，可以成为揭示问题之源，思想之威力的好素材。如上述素材，不管是解二次方程，还是解三次方程，只要是解方程，与方程相关联，就揭示了复数之源，方程思想方法的威力。

问题及问题链的构造应反映知识的发展历程，展示知识的独特性、发展性、关联性。当数学知识作为一个实体而存在之后，可以不依赖其实际背景而运行，能在一个形式系统中独立运行和繁衍，最终形成枝繁叶茂的理论体系。单元小结课的问题及问题链的构造应反映学科或知识发展的规律。

以复数为例，当复数因其 “可视性”而获得承认之后，人们就从各种角度展开了研究，如从几何的、代数的、三角的、向量的、函数的等角度。凡此种种努力，都在于使复数 “化虚为实”，让复数 “看得见，摸得着”。从几何的角度而言，复数的独特性在于复数有模，能刻画距离，复数有共轭复数，反映了某种对称性。从代数的角度而言，复数的发展性在于，复数就是建立在实数域上的一个有序实数对，凡是与复数有关的问题均可以转化为与实数有关的问题来解决。从向量的角度而言，复数的发展性还在于复数是向量的母体，可以 “由其子识其母”。从三角函数的、指数函数角度而言，复数的关联性在于它深刻地揭示了三角函数、指数函数、复数和向量之间的内在关联性，把我们的认识引向深入。

上述各种表示法可以相互转化，结成一个网络，体现知识的关联性、逻辑性。依据课程标准的要求，单元小结课，既要牢牢抓住复数的独特性，用精当的问题体现复数的几何特征，又要牢牢扣住复数的发展性，用精当的问题揭示复数化为实数运算的代数特征。最后，还要让学生明白，如此种种手段，其要旨都在于充分运用复数的多种表示法，由多种路径化归到实问题。这样就揭示了复数之特：多元表征，化虚为实，由实探虚，也揭示了数学化归思想的威力。

问题及问题链的构造应体现知识的应用性，展示知识的工具性和功用性，把知识转化为见识。当知识、方法成为认知结构中的有机组成部分之后，就应当活化知识，充分发挥知识的工具性和功用性，感受知识的价值。上述 “化虚为实”反映的是数学的一般思维方法——化归，把不熟悉的复平面上的问题化归到与实数有关的问题。当复数成为我们认识结构的有机组成部分后，就可以用复数的眼光审理与实数有关的问题了，这样，虚与实的双向关系就沟通了，既可以化虚为实，也可以化实为虚，既可以由实探虚，也可以由虚探实。

形成用复数的眼光分析和看待问题，是复数教学的目标所在。这就要求学生能对复数方法与其他方法有所鉴别和欣赏。在单元小结课上，可以选配恰当的问题及问题链反映复数在代数、三角、向量、几何等数学领域的应用。从思维方式和方法上讲，这和上面所述恰是一正一反，相得益彰。

还可以配置一些能用复数的实际问题，表现复数在其他科技领域中的巨大威力，使学生初步感受知识的意义和目的，体验求知的快乐与价值。历史素材库有很多这样的问题，著名的 “荒岛寻宝”就是一个例子。在这种真实性情境中运用知识解决问题，学生对知识所承载的内容、方法和精神将会升华，对知识的理解将会是全面的，见识就在这样的过程中逐渐形成。

三、结语

单元小结课是引导学生梳理、对比、欣赏、思辨、升华知识的重要课型。在知识、方法的梳理过程中，要让学生树立知识的整体观、系统观，体现知识发生发展的内在张力；在问题及问题链的构造中，要让学生感受知识发生发展及应用的全过程。有了合理的认知结构、恰当的问题及问题链，辅之一定的训练定能实现知识技能化的教学目标。