第三章导数及其应用学案.doc

§3.1 变化率与导数
§3.1.1 变化率问题
学习目标：
1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
分析:
(1)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(2)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
h
t
o
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算: 和的平均速度
在这段时间里,
在这段时间里,
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知, ,所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为 ,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度 精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子 表示,称为 .
2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)
则平均变化率为

思考: 用函数的图象表示:平均变化率表示什么?
三、典例分析
例1 已知函数的图象上的一点及临近一点则 .
解:

例2 求在附近的平均变化率.

四、课堂练习
1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .

2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.

3.过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.

§1.1.2 导数的概念
学习目标：
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数.

1.瞬时速度
我们把物体在 的速度称为瞬时速度.
2.导数的概念
从函数在处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在 出的导数,记作 或

即
说明: (1)导数即为函数在处的 ;
(2),当时,,所以.
三、典例分析
例1 (1)求函数在处的导数.
(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
分析: 先求,再求,最后求.
解: (1)

(2)

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

练习：
1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.

2.求曲线在时的导数.

3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

§1.1.3 导数的几何意义
学习目标：
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.
(一)曲线的切线及切线的斜率
如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？

问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
(2)切线的斜率为多少？
容易知道,割线的斜率是 ,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即
（1）这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质
(2)曲线在某点处的切线:
1)与 有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.（作图说明）

(二)导数的几何意义
函数在处的导数
即
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①
②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;
③
(三)导函数
由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
记作 ,即.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称

(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.
三、典例分析
例1 (1)求曲线在点处的切线方程.

(2)求函数在点处的导数.

例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.

例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).

四、课堂练习
1.求曲线在点处的切线.

2.求曲线在点处的切线.

§3.2导数的计算
一、常用函数的导数
1、

物理意义:
2、

物理意义:
3、

物理意义:
几何意义:
x<0时，
x>0时，

4、

二、基本初等函数的导数公式
幂函数

三角函数

指数函数

对数函数
例1：

例2.求下列函数的导数

例3.求下列函数的导数

例4:

练习1：求下列函数的导数

三、和差积商的导数
1、和或差的导数
公式：
例1、求：的导数
例2、求：的导数
2、积的导数
公式：
公式：
例3求：的导数

（1） [(3x2＋1)(4x2－3)]'＝(       )(4x2－3)＋ (3x2＋1)( )；
（2） (x3sinx)'＝( )x2·sinx＋x3· ( )．
（3）．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：
[(3＋x2)(2－x3)]'＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)．
[(3＋x2)(2－x3)]'＝2x(2－x3)－3x2(3＋x2)．
练习：求下列函数的导数：
（1）y＝2x3＋3x2－5x＋4；
（2） y＝ax3－bx＋c；
（3） y＝sinx－x＋1；
（4） y＝(3x2＋1)(2－x)；
（5） y＝(1＋x2)cosx；
（6） y=2xcosx-3log2 x .
例4 已知函数f(x)＝x2(x－1)，若f ' (x0)＝f(x0)，求x0的值．

3、商的导数
公式：
例5 求下列函数的导数

练习：求下列函数的导数

例6．求函数 y = xsinxcosx 的导数

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