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二次函数复习讲义　
一、要点梳理：
1、二次函数表达式：y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且 ）
2、抛物线的图象与性质：
（1）a决定抛物线的 ：当a>0时， ；当a<0时， .
（2）c决定抛物线与y轴交点的位置：当c>0时，图象与y轴交点在y轴的 上；当c<0时，图象与y轴交点在y轴的 上; 当c=0时，图象过 .
（3）b、a共同决定抛物线的对称轴x =-的位置：若b、a同号，则对称轴在y轴 ；若b、a异号，则对称轴在y轴 ；若b=0，则对称轴是
（4）抛物线的顶点坐标为 .
3、二次函数与一元二次方程的关系：△=b2- 4ac决定抛物线与x轴交点情况：
当△>0时，抛物线与x轴有 个交点；
当△<0时，抛物线与x轴有 个交点；
当△=0时，抛物线与x轴有 个交点.
二、中考在线：
考点1 考查二次函数的概念
【例1】当为何值时，是关于的二次函数？
【例2】已知点，，在函数的图象上，则的大小关
系是（　 　）
　 　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【例3】如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，则菜园的面积（单位：米）与（单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）．
A
B
C
D
（例1图）
菜园
墙

考点2 考查二次函数解析式的确定
x
y
O
3
 －9
－1
－1
A
B

【例4】如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

考点3 考查二次函数的图象与性质
【例5】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称
轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；
④5a＜b．其中正确结论是（　　）．
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
考点4 与抛物线有关的平移变换
【例6】二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位．B．向右移动1个单位，向上移动3个单位．
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位．D．向右移动1个单位向下移动3个单位．
【例7】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．

考点5 探究二次函数与一元二次方程的关系
【例8】对于二次函数，我们把使函数值等于的实数叫做这个函数的零点，则
二次函数（为实数）的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
考点6 探究生活情景中的二次函数关系
【例9】连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约为，列车走完全程包含启动加速、匀速
运行、制动减速三个阶段．已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速动行共需秒，在这段时间
内记录下下列数据：
时间（秒）
0
50
100
150
200
速度（米／秒）
0
30
60
90
120
路程（米）
0
750
3000
6750
12000
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（）
速度与时间的函数关系、路程与时间的函数关系．
（2）最新研究表明，此种列车的稳定动行速度可达180米／秒，为了检测稳定运行时各项指标在列车
达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中路程、速度随时间的变
化关系仍然满足（1）中的函数关系式，并且制作减速所需路程与启动加速的路程相同．根据以上要
求，至少还要再建多长轨道就能满足试验检测要求？
（3）若减速过程与加速过程完全相反．根据对问题（2）的研究，直接写出列车在试验检测过程中从启动
到停车这段时间内，列车离开起点的距离（米）与时间（秒）的函数关系式（不需要写出过程）

【例10】某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出每天可销售出6台．假设这种品牌
的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)
(1) 设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
(2) 销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量
和营业额均较高？

考点7 探究几何图形中的二次函数关系
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｆ
Ｃ
Ｂ
【例11】在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．
（1）求与的函数表达式；（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？

课堂检测
1、二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
2、在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2(x－2)2 + 2 B．y＝2(x + 2)2－2 C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 2
.
.
3、二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向上、直线x=4、（4，5） B．向上、直线x=-4、（-4，5）
C．向上、直线x=4、（4，-5） D．向下、直线x=-4、（-4，5）
4、二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A、＜0 B、＞0 C、＞0 D、＞0
5、函数在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）

6、二次函数的图象如图4所示，
则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．

7、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　）．
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
8、已知关于x的函数同时满足下列三个条件：
①函数的图象不经过第二象限；②当时，对应的函数值；③当时，函数值y随x的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）．
9、如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是等腰三角形，试求点P的坐标.

10、某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售20件，现在采用提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问售价定为多少元时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润。

11、已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在 轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正
半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物
线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成
立，请给予证明；若不成立，请说明理由

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