新课标高考数学(选考)学案.doc

选考部分
知识体系
1.几何证明选讲
2.曲线的极坐标方程
3.参数方程
4.坐标系与坐标变换
5.框图
6. 特征值与特征向量 矩阵的简单应用
7逆变换与逆矩阵
8.变换的复合与矩阵的乘法
9.几种常见的平面变换
10.二阶矩阵与平面向量
11.微积分基本定理与应用
12.曲边梯形的面积与定积分

1.几何证明选讲
第一节 三角形
一．考纲要求
了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理。
二．知识梳理
1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 ，并且等于
2．平行线分线段成比例定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段 ．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段
结论1：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边

结论2：三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边 。
结论3：若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边

3． 相似三角形的判定定理：
（1）（SAS）
（2） (SSS)
（3）(AA)
推论：如果一条直线与三角形的一边平行，且与三角形的另两条边相交，则
相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于 ，面积比等于 ．
4． 直角三角形的射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于 ，斜边上的高等于 ．
三．诊断练习
1．如图1，，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM= ，EK= ，FK= ．
A
D
B
┐
┐
图2
2．如图2，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为 cm．
A
M
C
E
K
F
B
D
l1
l2
l3
图1

3．如图3，ΔABC中，∠1=∠B，则Δ ∽Δ ．此时若AD=3，BD=2，则AC= ．
4．如图4，CD是RtΔABC的斜边上的高．
（1）若AD=9，CD=6，则BD= ；
A
C
B
D
╭
1
图3
（2）若AB=25，BC15，则BD= ．
┐
A
B
C
D
图4

四．范例导析
例1 如图5，等边△内接于△，且DE//BC，已知于点H，BC＝4，AH＝，求△的边长．

B
C
A
D
F
H
E

图5

例2如图6，在ΔABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB与点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N．
A
B
C
D
M
E
图6
N
求证：AD∶AB=AE∶AC．

例3 如图7，E，F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且．
A
B
C
D
M
F
E
图7
求证：∠AEF=∠FBD．

五．当堂反馈
1．如图8，ΔABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE=EA，AD，BE交于点F，则AF:FD= ．
2．一个等腰梯形的周长是80cm，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm，则这个梯形的面积为 cm2．
3．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 ．
4．如图9，已知∠1=∠2，请补充条件： （写一个即可），使得ΔABC∽ΔADE．
A
C
B
图9
E
╮
╮
1
2
A
B
C
D
F
E
图8

第二节 直线和圆
一．考纲要求
1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；
2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．
二．知识梳理
1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于
圆心角定理：圆心角的度数等于 的度数
推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；的圆周角所对的弦是
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的
2． 圆内接四边形的性质与判定定理：
圆的内接四边形的对角 ；圆内接四边形的外角等于它的内角的
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点
3．切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的
推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ；经过切点且垂直于切线的直线必经过
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
4．相交弦定理：圆内两条相交弦， 的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线， 的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ；圆心和这点的连线平分 的夹角。
三．诊断练习
1、如图10，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连结AC、BC、OC，那么下列结论中正确结论的个数有 个
①PC2=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2=OD·OP；④OA（CP－CD）=AP·CD．
2、AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP∶PB＝1∶4，CD＝8，则直径AB的长是
A
O
D
P
C
B
┐
图10

3、如图11，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为 ．
A
D
O
C
B
图12
A
B
P
C
·
图11
O
4、如图12，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为 ．

四．范例导析
A
B
O
E
C
D
图13
例1如图13，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D．已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长．

A
B
F
C
D
E
图14
例2 如图14，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB＝FC；
（2）若AB是△ABC的外接圆的直径，
∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．

例3如图15，⊙1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D.经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．
求证：CE∥DF．
O2
·
·
O1
F
E
D
C
B
A
图15

五．当堂反馈
1、下列命题中错误的是
（1）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行
（2）直线AB与⊙O相切于点A，过O作AB的垂线，垂足必是A
（3）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径
（4）圆的切线垂直于半径
2、如图17，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为
A
P
C
B
E
D
图19
3、如图18，PA与圆切于点A，割线PBC交圆于点B、C，若PA=6，PB=4，AB的度数为60°，则BC= ，ÐPCA= ，ÐPAB= ．
·
B
A
D
C

O

图17

B
C
A
P
图18

4、如图19，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE＝PA，，PD＝1，BD＝8，则线段BC= ．
参考答案
第一节 三角形
三．诊断练习
1．DM=7.5，EK=6，FK=10 2．440
3．ACD，ABC， 4.4，9
四．范例导析
例1解: 设等边的边长为x，则它的高为，
因为DE//BC，所以，解得x=．
例2证明：∵AM∥EN，
∴AD∶AB=NM∶MB，NM∶MC=AE∶AC．
∵MB=MC，
∴AD∶AB=AE∶AC．
例3证明：过点F作FM⊥BD于点M．设正方形的边长为a，则BD=a．
∵，∴EB=AF=a，AE=DF=a．
在RtΔDMF中，EM=DM=DF=a，∴BM=a－a=a．
在RtΔAEF和RtΔMBF中，
∵，，∠A=∠BMF=90°，
∴ΔAEF∽ΔMBF．∴∠AEF=∠FBD．
五．当堂反馈
1.AF:FD=4:1 2.240 3. 4.∠B=∠D（或∠C=∠E，或）
第二节 直线和圆
三．诊断练习
1.4 2.10 3.4 4.10
四．范例导析
例1解: 因为AB是⊙O的直径，所以，
所以AD是△ABC的中线，所以AB＝AC＝．
BD＝DC＝2，由，所以DE＝DC＝2．
由CE·CA=CD·CB,得 CE＝，所以．
例2证明 :（1）因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC．
因为四边形AFBC内接于圆，所以，所以，
所以，所以FB＝FC．
（2）因为AB是△ABC的外接圆的直径，所以．
因为=，所以，．
在RT△ACB中，因为BC＝6，，所以．
又在RT△ACD中，，，所以．
例3 证明：连结AB．∵ABEC是⊙O1的内接四边形，
∴ÐBAD=ÐE．
∵ADFB是⊙O2的内接四边形， ∴ÐBAD＋ÐF=180°．
∴ÐE＋ÐF=180°． ∴CE∥DF．
五．当堂反馈
1.（4） 2.120°. 3.5,30,30. 4.

随堂巩固练习（1）
1． 如图1，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则CO= cm，DO= cm．
2．已知，如图2，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE，A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm，EE′=36mm，则BB′= ，CC′= ，DD′= ．
A
B
C
D
F
E
图3
3．如图3，EF∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm．则BD= ．
A
O
C
B
D
┐
└
图1

A
B
C
D
E
E′′
D′′
C′′
B′′
A′′
图2

A
F
E
B
C
G
D
图4

4．已知，如图4，在平行四边形ABCD中，DB是对角线，E是AB
上一点，连结CE且延长和DA的延长线交于F，则图中相似三角形
的对数是 ．

5．如图5，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,则　　　　．
A
D
E
C
B
F
G
图6

图5

6．如图6，ED∥FG∥BC，且DE，FG把ΔABC的面积分为相等的三部分，若BC=15，则FG的长为 ．
7．如图7，已知矩形ABCD中，∠AEF=90°，则下列结论一定正确的是 ．
（1）ΔABF∽ΔAEF （2）ΔABF∽ΔCEF
（3）ΔCEF∽ΔDAE （4）ΔADE∽ΔAEF
A
B
C
D
E
F
图7
D
A
┐
C
B
E
图8
8．如图8，在RtΔABC中，∠C=90°，D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，∠B=30，AE=7．则DE的长为 ．
9．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是__________．
10．如图9，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则=
图9

11．如图10，在中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：．

图10

12．如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点．
图11
B
C
D
A
E
F
G
H
求证：GH=（BC－AD）．

13．已知：如图12，中，，，D、E、F分别在AB、AC、BC上，，，且．求证：（1）；（2）．
图12

随堂巩固练习（2）
1．如图1，AB=BC=CD，∠E=40°，则∠ACD= ．
2．如图2，已知⊙O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P，C是切点，过A的切线交PC于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半径OC= ．
3．如图3，ΔABC内接于⊙O，AD切⊙O于A，∠BAD=60°，则∠ACB= ．
A
B
C
D
E
图1
A
P
D
C
O
B
图2
D
B
A
C
图3

O
·
A
B
C
D
F
图5
4．如图4，已知AD=AB，∠ADB=350，则∠BOC等于
B
A
C
O
D
图4

5．如图5，ABCD是⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD并与BD交于E点，CF切⊙O于C交AD延长线于F，图中四个三角形：①ΔACF；②ΔABC；③ΔABD；④ΔBEC，其中与ΔCDF一定相似的是 ．
6．⊙O中，弦AB平分弦CD于点E，若CD=16，AE∶BE=3∶1，则AB= ．
7．AB是⊙O的直径，OA=2.5，C是圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，且CD=2，则AC= ．
8．如图6，PAB是⊙O的割线，AB=4，AP=5，⊙O的半径为6，则PO= ．
9．半径为5的⊙O内有一点A，OA=2，过点A的弦CD被A分成两部分，则AC·CD= ．
A
B
P
O
图6
10．如图7，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，则弦BD的长度是　　　　　　　．
图7

11．设圆与圆的半径分别为3和2，，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长度．

12．如图8，已知是⊙的切线，为切点，是 ⊙的割线，与⊙交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（1）证明四点共圆；
（2）求的大小．
图8

图9
13．如图9，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，
CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点
D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直
线CF交直线AB于点G，
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

参考答案

随堂巩固练习（1）
1．103.35，55.65； 2．:30mm，32mm，34mm； 3．2.1cm．
4．5 5． 6．5
7．ΔCEF∽ΔDAE 8．. 9．12，18 10．1：4
11．证明：　∵AD⊥BC，∴为直角三角形，又DE⊥AB，由射影定理知，．
同理可得，．
12．证明：由条件得EF是梯形ABCD的中位线，则有EF∥AD∥BC，由平行线等分线段定理得AH=HC，BG=GD，∴FH=AD，FG=BC，∴GH=FG－FH=（BC－AD）．
13．证明：设，则，。
（1）又为公共角，故△BAC∽△EFC，由得， ．
（2）由（1）得，．
∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE=∠EBC．

随堂巩固练习（2）
1．15° 2．2 3．120°. 4． 5．①②④
6．. 7．或2. 8．9. 9．21 10.
11．解：连交于，如图,则，且为的中点，设，则，解得．故弦的长为．

12、（1）连结，如图．因为与⊙相切于点，所以．因为是⊙的弦的中点，所以．于是．由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．

（2）连接，如图．由（1）得四点共圆，所以．由（1）得．由圆心在的内部，可知．所以．

13、解:(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF,
∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD
(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线。
方法二：可证明△OCF≌△OBF(略)
(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，可证得：FA＝FG，且AB＝BG
由切割线定理得2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ……①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ……②
由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）
∴AB＝BG＝，∴⊙O半径为2。
曲线的极坐标方程

【知识网络】
1. 曲线的极坐标方程的意义.
2. 直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程.
【典型例题】
例1.（1）化极坐标方程为直角坐标方程为 （C）
A．或 B．
C．或 D．
提示：
（2）在平面直角坐标系中以点为圆心，为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，
以轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （A）
A． B．
C． D．
提示：圆的直角坐标方程为，
化为 极坐标方程为，，
∵曲线也过极点，
∴与等价，
∴对应的极坐标方程为.
（3）极坐标方程表示的曲线为 （C）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
提示：
则或
（4）极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________.
提示:圆心分别为和
（5）极坐标方程表示的曲线是 . 双曲线
提示：等价于，.
例2.设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，当点在圆上移动一周时，求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.
解：圆的极坐标方程为，
设点的极坐标为，点的极坐标为，
∵点为线段的中点， ∴，将代入圆的极坐标方程，
得. ∴点轨迹的极坐标方程为，它表示原心在点
，半径为的圆.
例3. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段
的长度.
解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，
两点的极坐标分别为和，，
， ∴.
∴线段的长度为.
例4. 长为的线段，其端点在轴和轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足
为，求点的轨迹的极坐标方程（轴为极轴），再化为直角坐标方程.
解：设线段的端点分别为且在轴正方向上， 在轴的正方向上，
设点的极坐标为，则，且，
，
∴点的轨迹的极坐标方程为.
由可得， ∴
其直角坐标方程为.
【课内练习】
1.将极坐标方程化为直角坐标方程是（C）
A． B． C． D．
提示：.
2.极坐标方程表示的曲线为 （D）
A．极点 B．极轴 C．一条直线 D．两条相交直线
提示：，为两条相交直线
3.圆的圆心坐标是 （A）
A． B． C． D．
提示：圆的普通方程为，圆心为，半径为.
.
4. 两直线和的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合
提示：的直角坐标方程为化为直角坐标方程为
， 其斜率为，直线的斜率为，
∴两直线互相垂直（时也成立）.
5. 设曲线的普通方程为,则它的极坐标方程为 .
提示：用代入即得.
6.直线的极坐标方程为________________.
提示：直线的极坐标方程为.
7.设直线过极坐标系中的点,且平行于极轴,则它的极坐标方程为 .

提示：在相应的直角坐标系中，直线的方程为.
8.从极点作圆的弦,求各弦中点的轨迹方程.
解:设所求曲线上的动点的极坐标为,圆上的动点的极坐标为
由题设可知,,将其代入圆的方程得:.
∴所求的轨迹方程为.
9.已知曲线的极坐标方程为，求此曲线的直角坐标方程，并讨论在不同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中和为正的实常数）.
解：方程写成，将和代入，
得，即 ，
两边平方，得
整理得，.
由上述方程可知，当时，方程表示双曲线；当时，方程表示抛物线；当时，方程表示椭圆.
10. 过椭圆的左焦点作直线，交椭圆于两点，证明：
为定值.
证明：椭圆方程可化为，
∴，
以椭圆的左焦点极点，轴正方向为极轴的方向建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为.
设点的极坐标为，则点的极坐标为，
∴为定值.

作业本
1.将直角坐标方程化为极坐标方程时，极点和的值分别是（D）
A．坐标原点 B．坐标原点
C．焦点 D．焦点
提示：由直角坐标方程知，，根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知，
极点是圆锥曲线的焦点.
2. 设曲线的极坐标方程为,则它表示的曲线是 （D）
A．圆心在点直径为的圆 B．圆心在点直径为的圆
C．圆心在点直径为的圆 D．圆心在点直径为的圆
提示：曲线的直角坐标方程为，即.
3.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为 （A）
A． B． C． D．
提示：的普通方程为，的普通方程为
圆与直线显然相切
4. 设曲线的极坐标方程为,则它的直角方程为 .
提示：与等价.
5.设直线过极坐标系中的点,且垂直于极轴,则它的极坐标方程为 .

6. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求
的值.
解：抛物线中，.
在以抛物线的焦点为极点，轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为，
设点的极坐标为，则点的极坐标为，
则， ∴的值为.
7. 一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳千米时，
极半径和轨道的轴成角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.
解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系，
设轨道的极坐标方程为，因为时，，
∴， ∴，
∴轨道的极坐标方程为，当时，.
∴这颗慧星轨道的极坐标方程为，它的近日点离太阳的距离为千米.
8.从极点引一条直线和圆相交于一点，点分线段
成比，求点在圆上移动时，点的轨迹方程，并指出它表示什么曲线.
解：设点的极坐标分别为和，由题设知，
将其代入圆的方程，得，
整理得，，
∴点的轨迹方程为，它表示一个圆.

参数方程

【知识网络】
1. 参数方程的概念.
2. 曲线的参数方程与普通方程的互化.
3. 利用曲线的参数方程解决有关问题.
【典型例题】
例1.（1）3．将参数方程为参数化为普通方程为 （C）
A． B． C． D．
提示：将代入即可，但是.
（2）参数方程为为参数表示的曲线是 （D）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
提示：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线
（3）直线为参数和圆交于两点，则的中点坐
标为 （D）
A． B． C． D．
提示：，得，
中点为
（4）直线为参数的斜率为______________________.
提示：
（5）抛物线（为参数）在轴上截得的弦长为 .
提示：令，得.
当时，；当时，，∴抛物线与轴交于点.
例2.分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
（1）为参数，为常数；
（2）为参数，为常数；
解：（1）当时，，即；
当时，
而，即
（2）当时，，，即；
当时，，，即；
当时，得，即
得
即。
例3.求经过点倾斜角为的直线的参数方程.
解：设点为直线上的任意一点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，
两直线相交于点.规定直线向上的方向为正方向.
当与同方向或重合时,因,由三角函数定义,
有;
当与反方向时, 同时改变符号,上式依然成立.
设,取为参数, ∵,
∴, 即,
∴直线的参数方程为.
例4.已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；
（2）若恒成立求实数的取值范围。
解：（1）设圆的参数方程为，

∵
∴,即的取值范围为.
（2）
∴,
∴实数的取值范围为.
【课内练习】
1.与参数方程为为参数等价的普通方程为 （D）
A． B．
C． D．
提示：而得
2.若曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点的轨迹是 （D）
A．直线 B．以为端点的射线
C．圆 D．以和为端点的线段
提示：将曲线的参数方程化为普通方程得
3.曲线为参数与坐标轴的交点是 （B）
A． B．
C． D．
提示：令，得，此时， ∴曲线与轴的交点为；
令，得，此时， 曲线与轴的交点为.
4.直线为参数被圆所截得的弦长为 （C）
A． B． C． D．
提示：，把直线代入
得
，弦长为
5.直线为参数恒过定点_____________.
提示：将参数方程化为乭方程得，当且时，此方程对于任何都成立，所以直线恒过定点.
6. 直线为参数被圆截得的弦长为______________.
提示：直线为，圆心到直线的距离，
弦长的一半为，得弦长为.
7. 已知曲线为参数，为正常数上的两点对应的参数分别为和，且，那么=_______________.
提示：参数方程表示的曲线为抛物线，线段垂直于抛物线的对称轴，
∴
8. 选取适当参数，把直线方程化为参数方程.
解：选，则， 由此得直线的参数方程为.
也可选，则， 由此得直线的参数方程为.
可见，曲线的参数方程随参数选取的不同而不同，同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.
9.已知弹道曲线的参数方程为.
（1）求发射角时，弹道曲线的普通方程和射程；
（2）设是定值，可以变动，求证：当时射程最大.
解：（1）发射角时，弹道曲线的参数方程为，
由，得， 代入并化简，得.
令，得或，可知射程为.
∴弹道曲线的普通方程为，射程为.
（2）证明：由弹道曲线的参数方程消去，
得到它的普通方程为，由（1）知，射程为，
∵， ∴，∴当时射程最大，为.
10.在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.
解：设椭圆的参数方程为，

当，即时，，此时所求点为.

作业本
1.把方程化为以参数的参数方程是 （D）
A． B． C． D．
提示：，可取一切非零实数，而A，B，C中的都取不到一切非零实数.
2. 直线：与圆：（其中为参数）的位置关系是 （D）
A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
提示：圆的普通方程为，圆心到直线的距离为
.
3.椭圆（为参数）的焦距为 （B）
A． B．2 C． D．2
提示：椭圆的普通方程为，
椭圆可通过平移将其方程化为，.
4.直线的参数方程为为参数，上的点对应的参数是，则点与
之间的距离是 .
提示：距离为.
5.直线与圆相切，则_______________. ，或
提示：直线为，圆为，圆心为，
由， ∴或，
∴或.
6. 动点作等速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别为和，运动开始时，点位于，求点的轨迹的参数方程.
解：设动点运动的时间为，点的坐标为，
由题设知，，
∴点的轨迹的参数方程为（
7.设直线的参数方程为，求直线被圆截得的弦长.
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得，得， ∴或，
分别代入直线方程，得， ∴直线与圆的交点为和，
，即直线被圆所截得的弦长为.
8. 设直线，椭圆.求椭圆到直线的最小距离（即椭圆
上任意一点到直线的距离的最小值）.
解：把椭圆方程化为参数方程为参数，则椭圆上任意一点为
，它到直线的距离为，
∴， ∴椭圆到直线的最小距离为.

坐标系与坐标变换
【知识网络】
1. 几种常用的坐标系：直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系及其相互转化.
2. 平面坐标系中几种常见变换：平移变换、伸缩变换.
【典型例题】
例1.（1）点的直角坐标是，则点的极坐标为 （C）
A． B． C． D．
提示：都是点的极坐标.
（2）在极坐标系中有下列各点：，,
其中.给出下列结论：①两点关于极轴所在的直线对称；②两点关于过原点且垂直于极轴的直线对称；③两点重合；④两点关于极点对称；⑤两点重合.其中正确的结论是 （A）
A．①③④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②③
提示：在极坐标