1、经济学的数量分析方法”期末试题（2013.1.16）答案
1、（20分）一个生产者，以r的价格租赁机器K，以w的工资雇佣劳动L，生产产出Q，其中。
（1）给定产量为Q时，求其成本最小化的条件要素需求。即求解最优化问题
（2）计算条件要素需求的价格效应矩阵。
（3）证明其拉格朗日乘子为：，说明拉格朗日乘子的经济含义。
解：（1）拉格朗日函数L为
则拉格朗日条件为
可解得
则成本最小化的条件要素需求为和。
（2）条件要素需求的价格效应矩阵为
（3）由（1）知拉格朗日乘子 ，把为和代入成本函数，则有
则，拉格朗日乘子表示的是“边际成
2、本”：当产量增加1单位时，最优成本增加了单位。表示了产量的“影子价格”。
2、（10分）对于单一产出的生产技术，设生产函数是。证明：生产集是凸集的充分必要条件是生产函数是凹函数。
（注：与习题五第4题相类似）
解：（1）充分性：
对任意的，有。由生产函数是凹函数，则对任意实数有
即，即生产集是凸集。
（2）必要性：
对任意的，则有，由生产集是凸集，则对任意实数，有
即有
则生产函数是凹函数。
3. （20分）分别用图解法和库恩-塔克条件求解下面不等式约束最优化问题：
（P）
解：规划（P）等价于
（1）库恩塔克条件法：
3、
令
其中为广义拉格朗日乘子，则库恩－塔克条件为
若，则由和有，代入，则有，此不可能，故；同理，可证得。即是和两圆的交点，只有和两种可能的取值。当取时，由有，与矛盾，故只能取，代入和可解得。
则根据解得的最优解和广义拉格朗日乘子为
（2）图解法：
4、（20分）求解下列优化问题：
（1） ；
解：（1）令，则，根据欧拉方程有
则有
其中为待定常数，则有
同理，为待定常数。由知，则
又由，有
又由水平终结线的横截性条件有
即，代入，可解得（舍去），
即最优路径为
（2）。
（2）令汉密尔顿函
4、数
由最大值原理有
由可得，代入可得
由可得
由可得
把和代入，可得二阶微分方程
由解得，则可得
其中为待定常数，则
则由有
由有
可解得
则最优路径为
5、（30分）假定某经济的资本积累方程为：，其中总量生产函数是新古典的，表示总资本存量，表示总人口，表示技术进步。假定人口增长率和技术进步率是外生给定的。
（1） 试将上述总量形式的资本积累方程改写成按有效劳动平均的人均项的形式（即用和描述的资本积累方程）；
（2）假定具有无限寿命的代表性消费者的即期效用函数为。假定时间偏好因子。
5、试将上述问题写成代表性消费者所面临的跨期最优化问题；
（3）考虑（2）中的优化问题，试推导出和的运动方程，并解释消费行为和资本积累行为的稳态和转移动态特征。
（注：可参考蒋中一《动态最优化基础》9.3，pp.308）
解：（1）由是新古典的，令
即资本积累方程的有效劳动平均的人均项形式为
（2） 社会的总即期效用为，则社会的总目标为
令，则代表性消费者所面临的跨期最优化问题为
（3） 现值汉密尔顿函数为
由最大值原理有
由有，代入，可得
则的运动方程如所示。
令，则有
则曲线如图所示：
则消费行为和资本积累行为的稳态和转移动态特征如图所示。
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