高级微观经济学消费理论.doc

高级微观经济学
课本：
参考书：
1) Andreu Mas-Colell，Michael D. Whinston and Jerry R. Green，1995，Microeconomic Theory，Oxford University Press；中译本：《微观经济理论》，经济科学出版社
2) David Kreps，1992，
3) Hal Varian，Microeconomic Analysis，中译本，
4) Eugene Silberberg and Wing Sun，2000，The Structure of Economics: a Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill Higher Education

第一章：消费理论（关于消费者的行为研究理论。其研究方法有两种，其一是古典需求理论或者说偏好理论；其二是显示偏好理论）

1. 基本概念
2. 偏好关系和效用函数
3. 消费者的优化问题
4. 间接效用函数和支出最小化
5. 需求的特征

一、 基本概念

1、选择集（消费集合）
定义：所有可能的（能实现的和不能实现的）消费（选择）方案的集合。
消费方案：
商品：
1) 商品数量无限可分：，商品数量是连续的。
2) 商品数量非负：
3) 商品种类为
消费方案（选择方案，消费束）：

特征：
1、 非空集(,否则没有研究意义)
2、 X闭集（连续性）
3、 凸集
4、 包含原点：（消费者可以选择不消费，这也是选择集合的下限）

选择集

2、可行集（可选择的消费束）：制度约束、经济约束等限制之后仍保留下来的消费集合。
可行集是消费集的自己和

3、偏好关系（指在同一消费集中，两个消费束哪个更受消费者偏好。）
4、行为假设
The consumer seeks to identify and select an available alternative that is most preferred in the light of his personal tastes.

在各种能够实现的消费方案中，消费者选择他最偏好的消费方案。
1选择集
2可行集
3偏好关系

4行为假设

二、偏好关系和效用函数

Debreu (1959)
1、偏好关系
①、关系、两元关系
②、两元关系的定义：定义在消费集上，反映中任意两个点之间的关系：，如果有，则对该消费者而言，“至少和一样好”，或者，“在和之间，消费者弱偏好”
③、偏好公理（实际上界定了消费者的理性状态。）
④⑤⑥

公理一：完备性公理：对于选择集中任意的两个要素和有或

含义：
u 消费者能够做出选择
u 消费者具有无限的认知能力
u 消费者具有无限的判断能力

公理二：传递性公理：对于选择集中任何的三个要素、和，如果和，则有。

含义：
u 消费者的选择具有一致性
u 保证了消费者能够选择一个最偏好的商品组合
偏好关系

u （弱）偏好关系：消费集上的两元关系，如果满足公理一和公理二，就是偏好关系。

理性偏好：公理一＋公理二
理性偏好意味着消费者能够完整地给消费集X中任何有限数目的要素排序，从最坏到最好，可能有些要素相同。
利用（弱）偏好关系，我们可以得到其它两个重要的偏好关系：即严格偏好关系和无差异偏好关系。
u 严格偏好关系：

u 无差异关系：
注意：严格偏好关系与无差异关系并不具有完备性。
有了这两个互补关系，则对任何一对，三种互相排斥的可能性中只有一种存在：

为了建立偏好关系与效用函数之间的关系，在理性偏好公理的基础上，还要对偏好做出性质上的其它假设。
公理三：连续性公理：对于选择集中的任何元素，和在中为闭集。

（偏好关系的连续性排除了消费者行为的不连续性即跳跃性。该公理也可以表述为：如果一个消费序列中的每一个消费束都至少和另一个消费束一样好，那么该消费束的极限也应至少好于那个消费束。，便好关系的连续性排除了无差异曲线的开区间。无差异曲线是上面两个闭集的交集，故还是闭集。同时也意味着严格偏好集是一个开集。）
公理四‘：局部非饱和性公理：对于任何，，始终存在着某个，有。

含义：不存在任何消费束令消费者达到满足的极限，总有更为偏好的消费束存在。）
局部非饱和性使得与无差异的消费集是一个(n-1)为空间，在二维空间中表现为一条直线。
公理四：严格单调性公理：对于所有的，如果，有；如果，那么

含义：
u 多多益善（如果消费束的每一种商品至少和一样多，那么至少和一样好；如果消费束的每一种商品至少和一样多，且至少有某一个商品严格地多于相应的商品，那么严格偏好）
严格单调性公理使得与无差异的消费集一定是一条向下倾斜的直线。）

由公理4可以推出公理3，但反之不行。

公理五：凸性定理：如果，那么，对于所有的，有。
公理五：严格凸性定理：如果，那么，对于所有的，有。

凸性但非严格凸性

严格凸性
含义：
u 平均优于极端
u 边际替代率递减
它排除了无差异曲线向原点凹的部分。

递减

不变和上升
效用函数

由于偏好关系不便于进行数理推导，人们希望采用效用函数来代表偏好关系，从而简化消费者理论的分析。一个效用函数被定义为：
定义 代表偏好关系的效用函数
定义：实值函数，如果对于所有的，有，则该函数被称为反映偏好关系的效用函数。
（即：如果一个效用函数分派一个较大的数给所偏好的消费束，那么该函数则代表了一个消费者的偏好关系。）
从数学上，此问题便是代表偏好关系的一个连续效用函数的存在性问题。
人们可以证明：任何一个具备完备性、传递性与连续性的二元关系才能够被用一个连续实值函数来表达。可代表性并不依赖于凸性或单调性。但为了证明的简化，我们加上单调性。
定理1.1：代表偏好关系的实值函数的存在性
如果二元关系是完备的、可传递的、连续的及严格单调的，那么，必存在一个连续的实值函数代表偏好关系。
定理1.2：效用函数对正的单调转换的不变性
令是上的一个偏好关系，并设是一个代表此偏好关系的效用函数。对于每个X，当且仅当——这里，在由所确定的值集上是严格单调递增的，那么也代表偏好关系。
定理1.3：偏好性质与效用函数
令是上的一个偏好关系，并设是一个代表此偏好关系的效用函数，那么：
1、当且仅当是严格单调的，是严格递增的；
2、当且仅当是凸的，是拟凹的；
3、当且仅当是严格凸的，是严格拟凹的。

消费者选择

消费者选择能够支付得起的最优商品组合。

“支付得起”——预算集
“最优”——偏好关系

预算集：

n 消费者从预算集中选择最偏好的商品组合（点）：
，且对于所有的，有。
n 消费者从预算集中选择最大化效用函数的点：

消费者的问题：
此最大化问题是否有解：
是否有唯一解：

定理A1.10：极值的存在性定理

设是非空紧集，是连续的实值映射，则存在向量和向量，对于所有的，有

证明：
连续
：非空、闭集、有界集

定理A2.14：目标函数严格拟凹

消费者的问题：的解：
马歇尔需求函数

1、两维空间：预算线和无差异曲线之间的关系相交相切不相交
预算线与无差异曲线相切：
预算线的斜率：
无差异曲线的斜率：

解得马歇尔需求函数

2、假设效用函数连续可导，可以用拉格朗日方法求消费者问题的解：
（1）、根据偏好关系的严格单调性定理，约束条件必然为
：预算平衡性定理
构造拉格朗日函数：
一阶条件：
二阶条件：加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数
（2）、不等约束条件下的极值Kuhn－Tucker定理：
构造拉格朗日函数：
一阶条件：
二阶条件：加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数

例题：消费者的效用函数为，求马歇尔需求函数。
解：设商品1和商品2的价格分别为，消费者收入为。消费者的决策为：

构造拉格朗日函数：

最优解满足一阶条件：

解得马歇尔需求函数：

消费者的最大效用为：

间接效用函数为：

定理1.5
马歇尔需求函数的可导性：
作用：比较静态分析——参数或模型结构的变化对模型解的影响——价格变化或收入变化导致的解的变化：，或
设是消费者最大化问题的解，需求函数可导性的条件是：
效用函数二阶可导
某些或全部商品的边际效用大于零
效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式
间接效用函数
直接效用函数：
间接效用函数：

间接效用函数的特征：

间接效用函数
1) 在上连续
2) 在上零阶齐次性
3) 在上严格递增
4) 在上严格递减
5) 在上拟凹

6) 罗伊恒等式：如果在上可导，并且，有：

间接效用函数的特征
1、间接效用函数在上连续
p.505最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。

2、间接效用函数在上零阶齐次性

间接效用函数在上零阶齐次性：

3、间接效用函数在上严格递增
应用包络定理：
构造拉格朗日函数
根据包络定理，：的符号？

5、 间接效用函数在价格上递减
设价格向量，求证

6、 间接效用函数在上拟凸
定理A1.18：拟凸性和劣集（quasiconvexity and inferior sets）
当且仅当对于所有的，劣集是凸集，函数是拟凸函数。

劣集的定义：
证明间接效用函数在上拟凸，只需证明其劣集为凸集。
在中选两点，设，，取，我们要证明
。也就是说，对于任何满足的最优解，我们得证明。

三种可能性：

和
6、间接效用函数

例题：
证明满足间接效用函数的特征
支出函数
给定价格实现某一效用水平所需的最小支出：

最优解为希克斯需求函数，最小支出为
支出函数为：

两元空间支出最小化：

希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与相对应，因此可以把所要实现的效用水平写作。

可以写为：

支出函数可以表述为在给定价格下，实现消费束所带来的效用，所需的最小支出。实际购买力用商品数量表示，所以支出函数又可以表述为在给定价格下，实现实际购买力所带来的效用，所需的最小支出。因此，希克斯需求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。

在效用最大化中，货币收入不变，马歇尔需求函数又被称为“货币收入固定的需求函数”。
支出函数的特征
1. 在取最低效用水平时，支出函数为零
2. 在定义域上连续
3. 对于所有的，支出函数在上递增并且无上界
4. 在价格上递增
5. 在价格上一阶齐次性
6. 在价格上为凹函数
7. 如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：

证明：
1、 在取最低效用水平时，支出函数为零
取最低效用水平：，即
支出函数

2、在定义域上连续

3、对于所有的，支出函数在上递增并且无上界

根据包络定理：

拉格朗日函数：
（一阶条件）

4、在价格上递增

5、在价格上一阶齐次性

6、在价格上为凹函数
固定效用为，取价格，，设在价格为时最优解为，支出函数为

7、 如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：

根据包络定理
例子消费者的效用函数为，求希克斯需求函数和支出函数。
解：
构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：
，

马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系：
Suppose that is a continuous utility function representing a locally nonsatiated preference relation defined on the consumption set and the price vector is . We have

①If is optimal in the utility maximization problem when wealth is, then is optimal in the expenditure minimization problem when the required utility level is . Moreover, the minimized expenditure level in this expenditure minimization problem is exactly .

②if is optimal in the expenditure minimization problem when the required utility level is , then is optimal in the utility maximization problem when wealth is . Moreover, the maximized utility level in this utility maximization problem is exactly .

假设是满足假设1.2的效用函数，我们有：
①如果在收入为时，是效用最大化问题的最优解，那么在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时，是最优解。而且，在这一支出最小化问题中，最小的支出水平正好为。
②如果在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时， 是最优解，那么在效用最大化问题中，当收入为时，是最优解。而且，在效用最大化问题中，最大效用水平正好为。
证明：①
效用最大化问题为：
设是此问题的解，于是有
和
支出最小化问题为：
设是此问题的解，于是有
和

假设不是支出最小化问题的解。设是其解，有和。根据弱单调性公理，在的任何邻域中，存在，，且有。就是说，，又因为，所以，是更优的点。这与前提条件相矛盾，因此，是在所要实现的效用水平为时，支出最小化问题的最优解。

在收入为时，是UMP的最优解，则是马歇尔需求函数，此时，，；在EMP中，当所要实现的效用水平为时，是最优解，则是希克斯需求函数，也就是说，我们有，支出函数为，即。
证毕。

②假设在效用最大化问题中，当收入为时，不是最优解。是最优解，，。取。根据的连续性，当足够地接近1时，有，且。这和前提条件相矛盾，所以是效用最大化问题的最优解。在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时， 是最优解，就是说，是希克斯需求函数，有
是在收入为时，效用最大化问题的解，也就是马歇尔需求函数，所以有。因此，我们有：

最大效用即间接效用函数为
是支出最小化问题的解，有，又，所以有＝
证毕。

例子：利用间接效用函数

求支出函数
解：令，

利用希克斯需求函数求马歇尔需求函数。
解：令，

，
马歇尔需求函数的特征（比较静态分析）

马歇尔需求函数：
Walras法则（预算平衡性）：

在价格和收入上零阶齐次性
对于所有的，有，

比较静态分析：
1. 某种商品价格变化所导致的对其他商品和该商品本身需求的变化；
2. 收入变化所导致的对商品的需求的变化。

替代效应：保持效用不变，相对价格变化所导致的消费的变化。

收入效应：相对价格保持不变，收入改变所导致的消费的变化。

其中，是在价格为、收入为时所实现的效用。因此有，于是，所以，上式等号右边为复合函数：，。
第一步：等号左右两边同时对求导数，得到

第二步：
第三步：得到Slutsky方程：

矩阵表示：

定理1.11：设是马歇尔需求函数，是在价格、为收入为时所实现的效用，有Slutsky方程：
。

当时，Slutsky方程衡量商品价格变化对其自身需求的影响：

①自替代项的特征：
定理1.12：负自替代项：
设是对商品的希克斯需求函数，有：

证明：
支出函数在价格上为凹函数，根据定理A2.5，凹函数所有的二阶自偏导数非正，即；
根据谢菲尔德引理，有，所以

②正常商品：在价格不变时，随着收入增加，其消费增加的商品，叫做“正常商品”。对正常商品，有

非正常商品：在价格不变时，随着收入增加，其消费减少的商品，叫做“非正常商品”。对非正常商品，有
。
定理1.13：需求法则（定律）：
正常商品：

正常商品自身价格下降会导致其需求量上升
非正常商品：

如果商品自身价格下降导致其需求量下降，该商品肯定为非正常商品。
正常商品
非正常商品

③定理1.14：对称替代项：
设是希克斯需求函数，支出函数连续二阶可导，有：

证明：根据谢菲尔德引理，有，于是

根据杨格定理（A2.2），有，所以有：

替代项的数量：个

④替代矩阵：

定理：1.15负半定替代矩阵：
替代矩阵

其中，
是支出函数的二阶价格偏导数构成的海赛矩阵。
支出函数在价格上为凹函数，其二阶价格偏导数构成的海赛矩阵负半定，因此，替代矩阵负半定。

⑤定理1.16对称和负半定的Slutsky矩阵

Slutsky方程：

有Slutsky项：

矩阵形式为：
也就有：

是对称的、负半定的，因此是对称的、负半定的。
弹性：
设是对商品的马歇尔需求。定义：
1、 商品上的支出份额：，有
①
②
2、 收入弹性：
3、 价格弹性：

定理1.17：消费者需求中的加总：
设马歇尔需求函数为，根据Walras法则（预算平衡性），有：

1、 等号左右两边同时对求导，得到：

即：
有Engel加总：
2、 等号左右两边同时对求导，得到：

整理得
等号两边同乘以，得到

整理得：
有Cournot加总：

马歇尔需求函数在价格和收入上零阶齐次性：
对于所有的，有
等号左右两边同时对求导，并使：

等号左右两边同乘以，得到：
，
即：
证明：

本章知识点：
一、 消费集和消费集的特征；可行集；预算集
二、 偏好关系和偏好关系的特征
三、 效用函数的定义；效用函数存在性证明（不作要求）；效用函数正单调变换不变性定理；偏好特征与效用函数的特征；边际替代率；消费者优化问题的解
四、 间接效用函数的定义；间接效用函数的特征及证明；支出函数的定义和支出最小化问题的解；支出函数的特征及证明；间接效用函数和支出函数的对偶性；马歇尔需求函数与希克斯需求函数的对偶性；
五、 消费者需求函数的特征；Slutsky方程；弹性关系
六、 全部例题、定理和公理
七、 全部附录