“时代杯”2015年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题参考答案及评分标准.doc

时代杯”2015年江苏省中学数学应用与创新邀请赛
参考答案与评分标准
（初中组）
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分）
1． D．
2． C．
3． A．
4． B．
5． B．
6． C．
二、填空题（每题7分，共28分）
7． 8－8．
8．－58．
9． ．
10． 4．
三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分）
11．解：因为a＋b＋c＝13，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝169． ……………… 6分
因为a2＋b2＋c2＝77，所以ab＋bc＋ca＝46． ……………… 12分
又因为abc＝48，所以＋＋＝ ＝． ……………… 18分
12．证明：（1）如图，延长BE至Q．
A
B
C
D
E
F
P
Q
因为四边形BFCE是圆内接四边形，
所以∠QEC＝∠BFC．
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠BFC＝45°，从而∠QEC＝45°． ………… 4分
又因为∠EBF＝45°，
所以∠QEC＝∠EBF，从而EC∥BP． ………… 8分
（2）连接BD．
由（1）知，EC∥BP，所以∠BCE＝∠CBF．
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC∥AP，从而∠CBF＝∠BPD．
故∠BCE＝∠BPD．
因为∠CBD＝45°，∠EBF＝45°，所以∠CBE＝∠PBD．
因此△CBE∽△PBD． ………… 14分
从而＝，
即BP·BE＝BD·BC＝AB2． ………… 18分

13．·
A
B
C
O
①
A
B
C
③
A
B
C
·
·
O2
O1
②
(第13题)
解：（1）在Rt△ABC中，因为AC＝6，BC＝8，
所以AB＝10． ……………… 2分
由SΔABC ＝(6＋8＋10)×r1＝×6×8＝24，
解得r1＝2． ……………… 6分
方法一：
（2）在图①中，AO为∠CAB的平分线，
BO为∠CBA的平分线，则
由（1）得tan∠CAO＝＝，tan∠CBO＝＝，
所以tan∠OAB＝，tan∠OBA＝．

在图②中，因为AO1也是∠CAB的平分线，
所以点O1在射线AO上，
同理O2在射线BO上，
所以tan∠O1AB＝tan∠OAB＝，
tan∠O2BA＝tan∠OBA＝． ……………… 10分
因此AB＝＋2r2＋＝7r2，即10＝7r2，
解得 r2＝． ……………… 14分
（3）在图③中，同（2）可得点T1在射线AO上，点Tn在射线BO上，
所以tan∠T1AB＝，tan∠TnBA＝，从而由
AB＝＋(2n－2)rn＋＝10， ……………… 18分
即10＝(2n + 3)rn，解得rn＝． ……………… 22分
方法二：
（2）在图②中，Rt△ABC可以分成△AO1C、△BO2C、△O1O2C、梯形O1O2BA．
在Rt△ABC中，因为AC＝6，BC＝8，所以AB＝10，从而AB边上的高为．
所以，在△O1O2C中，O1O2＝2r2，边O1O2上的高为－r2；
在梯形O1O2BA中，梯形的高为r2． ……………… 10分
因此SΔABC ＝SΔAOC＋SΔBOC＋SΔOOC＋S梯形OOBA
＝×6×r2＋×8×r2＋×2r2×(－r2)＋×r2×(10＋2r2)
＝r2．
又SΔABC ＝×6×8＝24，所以r2＝24，
解得r2＝． ……………… 14分
（3）在图③中，Rt△ABC可以分成△AT1C、△BTnC、△T1TnC、梯形T1TnBA．
在△T1TnC中，T1Tn＝(2n－2) rn，边T1Tn上的高为－rn；
在梯形T1Tn BA中，梯形的高为rn．
因此SΔABC ＝SΔATC＋SΔBTC＋SΔTTC＋S梯形TTBA
＝×6×rn＋×8×rn＋×(2n－2) rn×(－rn)＋×rn×[10＋(2n－2)rn]
＝×rn． ……………… 18分
又SΔABC＝24，所以×rn＝24，
解得rn＝． ……………… 22分
14．（1）证明：
方法一：反证法．
由题意知a≠b，则假设a＜b，那么有正整数t≥1，使得
b＝a＋t，于是 a2＋b＝a2＋a＋t，
b2＋a＝(a＋t)2＋a＝a2＋2ta＋t2＋a＞a2＋2ta＋a
≥a2＋2t＋a＞a2＋a＋t＝a2＋b＞0，
从而可知 0＜＜1，不是整数，与题意矛盾．
故假设不成立.
因此，a＞b． …………………… 6分
方法二：因为a，b是两个不相等的正整数，
所以 －1＝ ≠0．
因为 是整数，所以 ＞1．
即 －1＝ ＞0，
因此a＞b． …………………… 6分
（2）解：因为b2＋a＝p2，所以a＝p2 －b2．
则 ＝ ＝ p2－2b2＋．
因为 (b，b3＋1)＝1，所以b是p2的倍数，或b3＋1是p2的倍数．
而p2＝b2＋a＞b，所以b不可能是p2的倍数，
从而必有b3＋1是p2的倍数． …………………… 12分
因为b3＋1＝(b＋1)(b2－b＋1)，
而p2＝b2＋a＞b2＋1≥b＋1；p2＝b2＋a＞b2＋1＞b2－b＋1，
所以b＋1不是p2的倍数，b2－b＋1也不是p2的倍数．
因为p为质数，所以b＋1是p的倍数，b2－b＋1也是p的倍数． ……… 16分
因为b2－b＋1＝(b＋1)2－3(b＋1)＋3，
所以3是p的倍数，
从而p＝3． …………………… 18分
（3）解：由（2）知，b2＋a＝9．
所以b＝1或2．
检验知b＝1不符合题意，b＝2符合题意．
此时a＝5． …………………… 22分