《排列》导学案.doc

1.2.1 .1 排列

课程学习目标
1.理解排列、排列数的概念,掌握排列数公式的推导,从中体会“化归”的数学思想.
2.能用“树型图”写出一个排列中所有的排列;能用排列数公式计算.
第一层级知识记忆与理解
创设情境
5月1日,小王、小刘、小赵等6名同学与李老师一起外出郊游.在游兴正浓之际,小王提议大家一起合影,把美好的山水风景与老师、同学的身影一起发给班里的每一位同学.大家齐声叫好,并一致提议李老师排中间.小王说:“我与老师排在一起.”小刘说:“我不与小王排在一起.”而小赵说:“我要与小刘排在一起.”其他三位同学说:“我们随便.”于是,大家排了队,合了影,高兴极了.在回学校的路上,李老师提了一个问题:“我们7个人排队,刚才大家提出了各自的要求,那么,符合你们这些要求的排法共有多少种呢?”
你能帮他们计算一下吗?

问题1:排列的概念
从n个　　　　元素中,任取m(m≤n)个元素,按照　　　　　　排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的　　　　　　. 
说明:(1)排列的定义包括两个方面:
①取出元素,②按一定的顺序排列.
(2)两个排列相同的条件:
①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同.
问题2:排列数的定义
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的　　　　　　的个数叫作从n个元素中取出m个元素的　　　　　　,用符号　　　　　　表示. 

问题3:排列数公式及其推导
由的意义:假定有排好顺序的2个空位,从n个元素a1,a2,…,an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数.由分步计数原理完成上述填空共有　　　　种填法,所以=　　　　. 
由此,求可以按依次填3个空位来考虑,∴=　　　　　　,求以按依次填m个空位来考虑=　　　　　　　　　　,得排列数公式如下:=　　　　　　　　　　 (m,n∈N+,m≤n). 

问题4:阶乘的概念
n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个不同元素的一个　　　　　,这时=　　　　　.把正整数1到n的连乘积,叫作　　　　　,表示　　　　　,即=　　　　　,规定:　　　　　. 
基础知识交流
1.89×90×91×92×…×100可表示为(　　).
A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.
2.甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书,则甲首先读的安排方法种数为(　　).
A.24 B.12 C.6 D.3
3.若=17×16×15×…×5×4,则n=　　　,m=　　　. 
4.从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个?

5.计算；;

6.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队要与其余各队在主，客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

7.（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？

第二层级：重点难点探究

1. 无限制条件的排列问题
有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选其中5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人.

2. 有限制条件的排列问题
有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.

3. 利用排列数公式进行计算、化简或解方程
解方程:3=2+6.

思维拓展应用

1.6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是　　　　. 

2.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
(1)43251是这个数列的第几项?
(2)这个数列的第97项是多少?

3.解方程:3=4.

第三层级

1.四支足球队进行主客场制的足球比赛,比赛的总场次为(　　).
A.6　　　　 B.12　　 C.16 D.24
2.在数字1,2,3与符号“+”,“-”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是(　　).
A.6 B.12 C.18 D.24
3.有8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,排法共有　　　　种. 
4.有5个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种?

拓展
　　(2013年·山东卷)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　).
A.243　　 B.252 C.261 D.279

总结：

课后练习 第20页1，2，3，4，5，6

知识体系梳理
问题1:不同　一定的顺序　一个排列
问题2:所有排列　排列数　
问题3:n(n-1)　n(n-1)　n(n-1)(n-2)　n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)　n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)
问题4:全排列　n·(n-1)· (n-2) · (n-3) ·…·2·1　n的阶乘　n!　n!　0!=1
基础学习交流
1.C　由题意知n=100,∴100-m+1=89,∴m=12.
2.C　甲在首位,相当于乙、丙、丁全排,即3!=3×2×1=6.
3.17　14　由题易知n=17,又∵4=17-m+1,∴m=14.
4.解:因为从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,分数的值各不相同,所以不同值的分数的个数等于从这五个数字中任取2个数字的排列数=5×4=20.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)从7个人中选5个人来排列,有=7×6×5×4×3=2520种.
(2)分两步完成,先选3人排在前排,有种方法;余下4人排在后排,有种方法,故共有·=5040种.事实上,本小题即为7人排成一排的全排列=5040种,属于无任何限制条件的排列问题.
【小结】对于无限制条件的排列问题,常用直接法,即把符合条件的排列数直接列式计算.
　　探究二:【解析】(1)(法一)(元素分析法)
先排甲有6种,其余有种,
故共有6·=241920种排法.
(法二)(位置分析法)
中间和两端有种排法,包括甲在内的其余6人有种排法,故共有·=336×720=241920种排法.
(法三)(等机会法)
9个人的全排列数有种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间及两端的排法总数是×=241920(种).
(法四)(间接法)
-3·=6=241920种.
(2)先排甲、乙,再排其余7人,
共有·=10080种排法.
(3)(插空法)
先排4名男生有种方法,再将5名女生插空,有种方法,故共有·=2880种排法.
【小结】本题集排列多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路.
　　探究三:【解析】由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),
∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,
解得x=5或x=,∴原方程的解为x=5或x=;
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确,应用=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=时,要注意隐含条件m,n∈N+且m≤n,于是正确解法如下:
由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),
∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,
解得x=5或x=,∵x≥3,且x∈N+,∴原方程的解为x=5.
【小结】(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中,m,n∈N+且m≤n这些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围.
(2)公式=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)常用来求值,特别是m,n均为已知时,公式=常用来证明或化简.
思维拓展应用
应用一:720　前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共=720种.
　　应用二:(1)不大于43251的五位数有-(++)=88个,即为此数列的第88项.
(2)此数列共有120项,而以5开头的五位数恰好有=24个,所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项,即51234.
　　应用三:∵∴
∴x=6或x=13(舍去).
即原方程的解为x=6.
基础智能检测
1.B　相当于从4支球队中选出2支球队的排列,共有=12场比赛.
2.B　先排列1,2,3,有=6种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有=2种方法,共有12种方法,故选B.
3.1440　把甲、乙、丙先排好,有种排法,把这三个人“捆绑”在一起看成是一个,与其余5个人相当于6个人排成一排,有种排法,所以一共有=1440种排法.
4.解:∵总的排法数为=120种,∴甲在乙的右边的排法数为=60种.
全新视角拓展
B　不重复的三位数有:+=648个.
则有重复数字的三位数有:900-648=252个,故选B.
思维导图构建
特殊元素　特殊的位置　“捆绑法”　“插空法”　“直接法”　“排除法”