1、
与勾股定理有关的探索性问题例析
新课程要求通过学习培养同学们的自主探究能力。探索性问题，正是新课程理念下培养同学们的观察、实验、操作、归纳、猜想，发展直觉思维能力和合情推理能力的好材料，是近几年中考的一个热点。围绕着勾股定理，出现了许多形式新颖，视点独特，内容丰富的新型试题，本文以直角三角形勾股定理为背景中考试题为例，加以评析，供同学们学习时参考。
例1．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝__
2、．
解析：本题是以一系列等腰直角三角形组成的图案为背景的规律探索型试题。要探求第n个等腰直角三角形的面积，根据图形提供的数据和等腰直角三角形的变化规律，我们可以看到：下一个等腰直角三角形的直角边是前一个等腰直角三角形的斜边，因此在解题时，先考虑特殊情形，根据勾股定理得一系列等腰直角三角形面积和下一个直角三角形的斜边长为：
S1＝
AB＝ S2＝
A1B＝ S3＝
A1B1＝ S4＝
B1B2＝ S5＝
……
所以：第n个等腰直角三角形的面积为。规律探索性问题，正是新课程理念下培养同学们的观察、实验、操作、
3、归纳、猜想，发展直觉思维能力和合情推理能力的好材料，是近几年中考的一个热点，本题考查了同学们从特殊到一般的思考问题的方法。
例2．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为____________________________________．
对图（3）的探究结论为_____________________________________．
证明：如图（2）
4、 解：结论均是PA2＋PC2＝PB2＋PD2
证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC
在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2
在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2
在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2
在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2
所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2
PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
因为MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四边形MNCD是矩形
所以MD＝NC，同理AM ＝ BN，
所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
即PA2＋PC2＝PB2＋PD2
点评：本题是一道和勾股定理有关的阅读理解探索型试题，特殊情形下的结论为探究一般情形下的规律设计了可借鉴的过程。考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究一般规律的能力，体现了转化的数学思想和类比方法的运用。
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