高三数学练习(五)最终(教师版).doc

2010届高三数学练习(五）
班级 姓名 学号
一、填空题（本题满分70分）
1. 若集合，则a= 2
2.已知复数，若 | z1 |＜| z2 |，则实数a的取值范围是 （－1，1） ．
体重
50 55 60 65 70 75

0．0375
0．0125
3. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是　 48　　．

4.已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则的值为____.
5. 抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数，则“ 在[0，4]上至少有5个零点”的概率是 ．
6. 已知一个棱长为6cm的正方体盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的球，则球心到盒底的距离为 10 cm.
7． 对于,不等式恒成立,则正实数p的取值范围为 .
8. 如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝ 5 ．
Read x
If x<5 Then
y← x2+1
Else
y←5x
Print y

9. 如图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（，n≤2009）的项，则所得y值中的最小值为 17 .
10. 已知直线是曲线的一条切线，则__-2_____.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，P F1P F2 =4ab，则双曲线的离心率是 .
12. 在周长为16的中，，则的取值范围是 .
13. 设函数, A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为
的点，向量，向量i=（1，0），设为向量与向量i的夹角，则满足
的最大整数n是 3 .
14. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2
上，且，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为 18 .
二、解答题：本大题6小题，共90分，解题时要写出必要的文字说明、解题步骤.
15. （本小题满分14分）
△ABC中，角A的对边长等于2，向量m=，向量n=.
（1）求m·n取得最大值时的角A的大小；
（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.
15.解:（1）m·n＝2－. …………………3分
因为 A＋B＋C，所以B＋C－A，
于是m·n＝＋cosA＝－2＝－2.……………5分
因为，所以当且仅当＝，即A＝时，m·n取得最大值.
故m·n取得最大值时的角A＝. …………………………7分
（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
由余弦定理，得 b2＋c2－a2＝2bccosA， …………………………9分
即bc＋4＝b2＋c2≥2bc，
所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号. ……………………… 12分
又S△ABC＝bcsinA＝bc≤.
当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为. ………………………14分
16.（本小题满分14分）
如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。

（I）求证：AF//平面BCE；
（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

16．解：（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP//DE，且FP=
又AB//DE，且AB=
∴AB//FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。…………4分
又∵AF平面BCE，BP平面BCE，
∴AF//平面BCE。 …………6分
（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。
∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，
∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE。 …………10分
又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE。 …………12分
17、（本题满足14分）已知等差数列满足：。数列的前n项和为
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，试问：是否存在正整数n，使不等式成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由。
17．解：（1）设数列的公差为， 由，得，
得．…………………………………………………………………2分
由数列的前和为可知，当时，，
当时，， 当时，得，
故数列的通项公式为,的通项公式为．………………………………6分
（2）假设存在正整数使不等式成立，即要满足,
由，，
所以数列单调减，数列单调增，…………………………8分
①当正整数时，，所以不成立；……………10分
②当正整数时，，
所以成立；…………………………………………12分
③当正整数时，，
所以不成立.
综上所述，存在正整数时，使不等式成立.………………14分

18. （本小题满分16分）如图，已知椭圆：的长轴长为4，离心率，为坐标原点，过的直线与轴垂直．是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．

（1）求椭圆的方程；
（2）证明点在以为直径的圆上；
（3）试判断直线与圆的位置关系．
18.解：（1）由题设可得，
解得，所以 ．
所以 椭圆的方程为．
（2）设，则．
因为 ，所以 ．所以 ．所以 点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．
（3）设，则，且．
又，所以 直线的方程为．
令，得．又，为的中点，所以 ．
所以 ，．
所以
．
所以 ．所以 直线与圆相切．

19. （本小题满分15分）在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器（只有一个下底面和侧面的长方体）.该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如下图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.
图1
图2

19. 解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x ，
所以V1= (4－2x)2·x = 4(x3－4x2 ＋ 4x) (0 时，V1取得最大值．<5,即不符合要求. ….…. …. 6
(2)重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2 = 3×2×1 = 6，显然V2>5．
故第二种方案符合要求．

图① 图② 图③
…. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….12
注：第二问答案不唯一。

20. （本小题满分16分）已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围；
（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围．
20．解:（Ⅰ）(1)
当时，上为增函数
故
当上为减函数
故
即.
.
（Ⅱ）方程化为
，令，
∵ ∴ 记
∴ ∴
（Ⅲ）方程化为
，
令， 则方程化为 （）
∵方程有三个不同的实数解，
∴由的图像知，
有两个根、，
且 或 ，

记
则 或
∴
附加题部分
（满分40分，考试时间30分钟）
21.［选做题］在A、B、C、D四小题中只能选做2小题，每小题10 分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.（选修４－１：几何证明选讲）
在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若AC=AB，
A
B
C
M
N
第21－A题
O
求证：BN=2AM．

A
B
C
M
N
O
A证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线,
所以．又已知，
所以…①…………………… 4分
又因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，
所以，即……② ………………………8分
由①、②可知，，所以BN=2AM． ………………10分
B.（选修４－２：矩阵与变换）
设a,b∈R，若矩阵A=把直线l：2x+y一7=0变换为另一直线：9x+y一91=0,试
求a,b的值.
B 解：取上两点（0,7）和（3.50）， …………………………………2分
则，， ………………6分
由题意知在直线：9x＋y－91＝0上，
∴ ……………………………………………8分
解得 …………………………………………10分
C.（选修４－４：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，动圆（R）的
圆心为 ，求的取值范围..
C.解：由题设得（为参数，R）. …………………………5分
于是，
所以 . ……………10分
D.（选修４－５：不等式选讲）
已知实数的最大值为7，求a的值
D.解：. ……………………4分
因为，所以，即.
因为的最大值是,所以，得，
当时，取最大值，所以. …………10分
［必做题］第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
22. （本小题满分10分）
在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为的中点，，问是否存在使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

22.解：：以为原点，、、方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．
则，，，，，，
，则，
，，
要使，则，即，，
存在使.
23 （本小题满分10分）
(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?
(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．
①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求s的分布列及其数学期望E(S).

图一
图二

23．（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：种．………2分
（2）① 设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，
如图二，当区域AD同色时，共有种；
当区域A、D不同色时，共有种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.…………………………4分
图二

(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、
5色分类计算，求出基本事件总数为种）
它们是等可能的。又因为A、D为红色时，共有种；
B、E为红色时，共有种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．
所以，=． ………………………………………6分
②随机变量的分布列为：

0
1
2
P

所以，=．…………………………………10分

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