导数概念及几何(含例题及有答案习题).doc

课次教学计划（教案）

课题
导数及其应用（一）
教学目标
知识目标
(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。
(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。
(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数在处的导数的几何意义，使学生认识到导数就是函数的图象在处的切线的斜率。即：
＝曲线在处切线的斜率

能力目标
通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

态度目标
(1)通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；
(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

教学策略
教学重点、难点
(1)理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。
(2) 发现、理解及应用导数的几何意义。

考点及教学思路
(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。
(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。
(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。

教学方法：讲授法和练习法
教学准备：课堂例题和练习的准备
一、 教学温故：
名称
公式
备注
点斜式
y-y0=k(x-x0)
1、联系斜率公式进行理解
2、已知一定点P0（x0，y0）和斜率k；
斜截式
y=kx+b
1、 联系点斜式进行理解；
2、 此时是已知一定点P（0，b）和斜率k；
3、 b表示直线在y轴上的截距
两点式
y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1

1、 两点式要求x1≠x2且y1≠y2；
2、 当x1=x2且y1≠y2时，直线垂直于x轴；
3、 当x1≠x2且y1=y2时，直线垂直于y轴。
截距式
x/a+y/b=1
1、 联系两点式进行理解；
2、 点P1（a，0），P2（0，b）分别为直线与坐标轴的交点坐标；
一般式
Ax+By+C=0（A、B不同时为零）
1、 联系二元一次方程组的相关知识点理解；
2、 熟练掌握A、B、C对直线位置的影响作用。

二． 新知导航

导 数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法则

导数的概念
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或 ；

导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

一些基本初等函数的导数表
（1）；
（2）；与此有关的如下：；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
7）； （8）；
导数的运算法则：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）若则。

三、经典范例：

（一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点）
（求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．）

类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．
例1　曲线在点处的切线方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2　与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：设为切点，则切点的斜率为．
．
由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线上的点的切线方程．
解：设想为切点，则切线的斜率为．
切线方程为．
．
又知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或．
评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4　求过点且与曲线相切的直线方程．
解：设为切点，则切线的斜率为．
切线方程为，即．
又已知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，即．
评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
解：曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，
则点的坐标满足．
因，
故切线的方程为．
点在切线上，则有．
化简得，解得．
所以，切点为，切线方程为．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点。
（二）判断分段函数的在段点处的导数

例 已知函数，判断在处是否可导？
分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．
解：

∴在处不可导．
说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即，当；包括；，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．
（三）证明函数的在一点处连续
例 证明：若函数在点处可导，则函数在点处连续．
分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明在点处连续，必须证明．由于函数在点处可导，因此，根据函数在点处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式（变为导数定义形式）的转化．
解：证法一：设，则当时，，

∴函数在点处连续．
证法二：∵函数在点处可导，
∴在点处有

∴∴函数在点处连续．
说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，正确运用转化思想来解决问题．函数在点处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限．反之则不一定成立．证题过程中不能合理实现转化，而直接理解为是使论证推理出现失误的障碍．
例 设函数在点处可导，试求下列各极限的值．
1．；
2.已知曲线上一点，用斜率定义求：
（1）点A的切线的斜率
（2）点A处的切线方程

四、课堂练习（2-3页）
1．若，则等于（ A ）
A．－1 B．－2 C．－1 D．
1．（含），
∴

故选A．

2．
原式＝

2 求下列各函数的导数（其中a,b为常数）
(1) 解：
(2) 解：
(3) 解：
(4) 解：
(5) 解：
(6) 解：
(7) 解：
五、课外作业（2-3页）
1．下列求导正确的是（ B ）
A． B．
C． D．
2.曲线在点处的切线方程是( D )
A. B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程是______．
4.过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( D )
A. B. C. D.

5过曲线上一点的切线方程是 5x-y－2=0或11x-4y+1=0.
6.过点作曲线的切线，求切线的方程.
x+y-1=0或x+4y+2=0或31x－y－63=0

7.已知一直线过点且与曲线相切，那么切点坐标为( C )
D

8.设,则过点（0，0）的曲线的切线方程是或
9.已知一直线经过原点且与曲线相切，试求直线的方程。
或
10．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ B ）
A． 2 B． 3 C． D．1
11．曲线在点（－1，－1）处的切线方程为 (A )
A. y=2x＋1 B. y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

12．若，则等于（ ）
A． B． C． D．以上都不是
分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可
解：由于

，应选A

13 求下列各函数的导数（其中a,b,c,n为常数）
（1） 解：
（2）解：
（3） 解：
（4） 解：
（5） 解：
（6） 解：
（7） 解：
（8） 解：

14.用导数的定义求函数在点处的导数。
解：
14 求曲线上点(1,1)处的切线方程与法线方程。
15 求曲线上点(1,1)处的切线方程与法线方程。
解：切线斜率，
解：切线斜率， 法线斜率为
所求切线方程为，即
所求法线方程为，即

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