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多元文化下的勾股定理的证明及比较
直滩初级中学 何风苹

摘 要 勾股定理作为数学史上的十大最重要的定理之一.它的起源、表述、证明和应用都在不同程度上反映出东西方数学在思维、表达、目标上的不同之处.本文对勾股定理的起源、证明作了细致分析,分析和研究了勾股定理引发的东西方文化价值.
关键词 勾股定理；文化价值；证明；比较
1 引言
2002年8月,在中国首都举办了第24届国际数学家大会,这是中国首次主办国际数学家大会,但也是首次在发展中国家主办这一会议.在这次大会上,一个简洁而美丽的图案随处可见.这看起来像一个旋转的风车图案(如图(1))，便是本次大会的会标——科学之王的旗帜.看似微小的它是古代与现代,中国和世界联结的纽带.会标是一个正方形,其中有4个以正方形的边长为弦的直角三角形,而中心的小正方形则是以勾股差为边长.这个风车的设计是以赵爽在为《周髀算经》作注解时的 “勾股圆方图”为原形.刘徽在对《九章算术》作注解证明勾股形公式时也曾用到此图.
图(1)
2 东方的勾股定理:商高定理
在对勾股定理的发现和应用方面,中国最早的一部数学著作——《周髀算经》(大约是西汉时代,公元前一百多年的作品)的开头就有详细记录,记载着周公(西周著名的政治家)向商高讨教如何得到天地数据的有关问题.昔者周公问商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,……以为勾广三,股修四,径偶五.既方之……”即就是,从前周公问商高:“我听说在演算方面你比较擅长,那么请问古时候包牺氏是怎样完成对整个天空逐于度量的事的,那么天不能从台阶而上,地不能用尺寸来测量,请问怎样产生有关的角数据?”商高说:“将长方形沿对角线折叠,就会产生长为3的短边(勾),长为4的长边(股),以5为斜长(弦)的直角三角形的比率.”所以人们就称“商高定理”.这段话的意思也就是:在一个三角形中,若勾长为3,股长为4,则弦长必为5,也就是人们常说的“勾三,股四,弦五”.
基于上述渊源,这个定理被我们称为“勾股定理”或“商高定理”.这是勾股定理在中国最早的书面记载.
2.1 郑爽关于勾股定理的证明

图(3)
如图（3）,具体证明为:
每个直角三角形的面积为
中间的小正方形的面积为
赵爽创制的这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE,是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的
于是便可得如下的式子:=+4×
化简得 =+
上述证明方法不仅简单,而且直观,它突显出我国古代数学家赵爽证题思想的高超和在数学方面的钻研精神,是我们中华民族的骄傲.而类似的证法在国外一直到印度数学家巴斯卡拉在1150年才提出.我们能这样说,我国在对勾股定理的证明应归功于赵爽.
3 西方的勾股定理:毕达哥拉斯定理
勾股定理在西方的文献记载中,向来都是以毕达哥拉斯这位古代希腊的哲学家的名字来命名的.毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家, 商高比他早出生五百多年,他是公元前五世纪的人.毕达哥拉斯青年时期就离开家乡,到世界各地游学,他的数学、天文学知识来自于很多数学家.回到家乡后,他便广招门徒,进行讲学，著名的毕达哥拉斯学院便是这样慢慢地建立的.
在西方学者看来, 毕达哥拉斯学派是最先发现这个关于直角三角学的“勾股定理”的.相传,毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现,特地宰了一百头牛来祭神,感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青,因此有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”.这一传说,给勾股定理的发现涂上了一层神秘的色彩.
3.1 欧几里得关于勾股定理的证明

图(5)
欧几里得著作的《几何原本》第一卷中的命题47是现在人类保存下来的流传最早的、最为广泛的文献资料:“直角三角形两直角边上的两个正方形之和等于斜边上的正方形.”其证明方法是用面积法来完成的.
如图(5),证明大致步骤如下:
在直角三角形ABC的三边上分别作正方形ABED,BCGK和ACHF,并过C点作AB的垂线CM延长交DE于L,连结CE,AK,BF,CD
∵△ABK≌△EBC
=
=
∴=
同理可证
=
∴+=
∴=+
即+=
3 勾股定理引发的东、西方文化价值的分析
从中国勾股定理的发现与发展来看,注重应用是中国古代数学传统文化的显著特点,重视理论与实际相联系,数形结合,以算为主,擅长于对问题进行整理归纳,建立一套算法体系的特征.
在西方,勾股定理是毕达哥拉斯学派最先发现的,毕达哥拉斯学派强调抽象性,用抽象的思维看待一切,数学上的图形和数是思维的抽象,同实际形象或实际事物是截然不同的，他们更多关心的是数学问题的本身, 毕达哥拉斯学派以空间形式为主要研究对象,以逻辑上的演绎推理为主要的理论形式.
对比中西数学史,两者都对勾股定理分别给出了严格意义上的证明.我国古代的数学家，他们的证明过程都是借助几何图形进行操作,他们的出入相补原理都是建立在一种形象直观、不证自明的基础上,将几何问题形象化,这种证明思想是一种形象的数形结合.而西方的证明追求的则是一种演绎推理的思维方式,用简洁的符号,缜密的逻辑,严谨的推理展示出西方数学的理性。
参考文献
[1] 胡春燕. 看勾股定理的起源 [N] 教学与管理，2007，3（2）:10–11.
[2] 王凯. 勾股定理与中国古代数学［J］． 邵阳学院学报，2005，2（3）:13–15.
[3］欧几里得. 几何原本 [M] . 西安：陕西科学技术出版社，1990,1（1）：43–46.
[4］周红艳． 关于勾股定理与毕达哥拉斯定理发现的比较研究［D］． 上海: 华中科技大学，2009．
[5］王芳． 多元文化下的勾股定理［J］． 数学教育学报，2004( 4) : 37–39.