2018年安徽中考数学试题田壮领.docx

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2018年安徽省初中毕业学业考试·数学
(考试时间：120分钟　满分：150分)
题号
一
二
三
四
总分
得分

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的括号内．不选、错选或多选的(不论是否写在括号内)一律得0分．
1. −3的倒数为(　　)
A. −13 B. 13 C. 3 D. −3
2. 2的平方根是(　　)
A. 2 B. −2 C. ±2 D. 4
3. “厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮.将210000000用科学记数法表示为(　　)
A. 2.1×109 B. 0.21×109 C. 2.1×108 D. 21×107
4. 下面的几何体中，从正面看为三角形的是(　　)
A. B.
C. D.
5. 关于12的叙述，错误的是(　　)
A. 12是有理数 B. 面积为12的正方形边长是12
C. 12=23 D. 在数轴上可以找到表示12的点
6. 以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是(　　)
A. 35 B. 30 C. 25 D. 20
7. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程(　　)
A. 50(1+x)2=175 B. 50+50(1+x)2=175
C. 50(1+x)+50(1+x)2=175 D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=175
8. 某校在中国学生核心素养知识竞赛中，通过激烈角逐，甲、乙、丙、丁四名同学胜出，他们2的成绩如表：

甲
乙
丙
丁
平均分
8.5
8.2
8.5
8.2
方差
1.8
1.2
1.2
1.1
最高分
9.8
9.8
9.8
9.7
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的同学去参加市级比赛，应选(　　)
A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲
9. 已知a、b、c是△ABC的三边，满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c=12，则ABC是(　　)三角形．
A. 等腰 B. 等边 C. 直角 D. 等腰直角
10. 在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B和∠C越来越大，若∠A减小α度，∠B和∠C分别增加β度，γ度，则α，β，γ关系为(　　)
A. α=12(β+γ) B. β=12(α+γ) C. α−β=γ D. 无法判定
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11. 因式分解：x2−2x+(x−2)=______．
12. 若2−xx+1在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
13. 如图，∠A=65∘，∠B=75∘，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠1=20∘，则∠2的度数为______ ．

14. 如图，∠ABC=90∘，O为射线BC上一点，以点O为圆心，12OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转一周，若在旋转过程中BA与⊙O相切，则旋转的角度等于______ ．

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 解不等式组：−2(x−4)>3x−2x−1≥1−x3；并将解集在数轴上表示出来．

16. 如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.3m．

(1)按图示规律，第一图案的长度L1= ______ ；第二个图案的长度L2= _ ；
(2)请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln(m)之间的关系；
(2)当走廊的长度L为30.3m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上．
(1)请在该网格内部画出△A1BC1，使其与△ABC关于点B成位似图形，且位似比为2：1；
(2)直接写出(1)中C1点的坐标为______ ．

18某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥.原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45∘，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30∘.求BD的长.(结果保留根号)．

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.设a、b是关于x的方程kx2+2(k−3)x+(k−3)=0的两个不相等的实根(k是非负整数)，一次函数y=(k−2)x+m与反比例函数y=nx的图象都经过点(a,b)．
(1)求k的值；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式．

20.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上.请用树状图或列表法解答下列问题：
(1)从中随机抽取两张卡片，求卡片正面上的数字之积大于4的概率；
(2)若先从中随机抽取一张卡片(不放回)，将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．

六、(本题满分12分)
21.为了了解各校情况，教委对其中40个学校九年级学生课外完成作业时间调研后进行了统计，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)计算出学生课外完成作业时间在30～45分钟的学校对应的扇形圆心角；
(2)将图中的条形图补充完整；
(3)计算出学生课外完成作业时间在60～75分钟的学校占调研学校总数的百分比．

七、(本题满分12分)
22.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

八、(本题满分14分)
23.问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=130∘，∠PCD=120∘，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE//AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______ 度；
(2)问题迁移：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合)，请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

2018安徽中考数学试题参考答案
【答案】
1. A 2. C 3. C 4. C 5. A 6. D 7. D
8. B 9. C 10. C
11. (x+1)(x−2)  
12. x≤2且x≠−1  
13. 100∘  
14. 60∘或120∘  
15. 解：−2(x−4)>3x−2①x−1≥1−x3②，
由不等式①解得，x<2，
由不等式②解得，x≥1，
在数轴上表示如下：

所以，原不等式组的解集是1≤x<2．  
16. 0.9；1.5  
17. (1,0)  
18. 解：在Rt△ABC中，AB=6m，∠ABC=45∘，
∴AC=BC=AB⋅tan45∘=6×22=3 2，
在Rt△ADC中，∵tanD=ACCD，
∴CD=ACtan30∘═32÷33=36，
∴BD=CD−BC=36−3 2．
答：BD的长为(3 6−32) m．  
19. 解：(1)∵方程kx2+2(k−3)x+(k−3)=0的两个不相等的实根，
∴△=4(k−3)2−4k(k−3)>0k≠0，
解得：k<3且k≠0，
又∵k为非负整数，
∴k=1，k=2，
又∵y=(k−2)x+m为一次函数，
∴k≠2，故k=1；

(2)当k=1时，方程kx2+2(k−3)x+(k−3)=0即为：x2−4x−2=0，
∵a，b是方程x2−4x−2=0的两个不相等的根，
∴a+b=4，ab=−2．
∵一次函数y=(k−2)x+m与反比例函数y=nx的图象都经过点(a,b)，
∴点(a,b)满足函数解析式，∴b=−a+mb=na，
解得m=a+bn=ab，
∴m=4n=−2，
∴一次函数为：y=−x+4，反比例函数为y=−2x．  
20. 解：(1)画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中卡片正面上的数字之积大于4的结果数为6，
所以卡片正面上的数字之积大于4的概率=612=12；
(2)共有12种等可能的结果数，其中组成的两位数恰好是3的倍数有4种情况，
所以组成的两位数恰好是3的倍数的概率=412=13．  
21. 解：(1)学生课外完成作业时间在30～45分钟的学校对应的扇形圆心角为：
360∘×45%=162∘；

(2)40×30%=12，即完成作业时间在15～30分钟的学校有12个，
补全条形统计图，如图所示：

(3)40−12−18−6=4，
440×100%=10%，
即学生课外完成作业时间在60～75分钟的学校占调研学校总数的10%．  
22. 解：
(1)∵点B(4,m)在直线y=x+1上，
∴m=4+1=5，
∴B(4,5)，
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得a−b+c=016a+4b+c=525a+5b+c=0，解得a=−1b=4c5，
∴抛物线解析式为y=−x2+4x+5；
(2)①设P(x,−x2+4x+5)，则E(x,x+1)，D(x,0)，
则PE=|−x2+4x+5−(x+1)|=|−x2+3x+4|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|−x2+3x+4|=2|x+1|，
当−x2+3x+4=2(x+1)时，解得x=−1或x=2，但当x=−1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P(2,9)；
当−x2+3x+4=−2(x+1)时，解得x=−1或x=6，但当x=−1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P(6,−7)；
综上可知P点坐标为(2,9)或(6,−7)；
②设P(x,−x2+4x5)，则E(x,x+1)，且B(4,5)，C(5,0)，
∴BE=(x−4)2+(x+1−5)2=2|x−4|，CE=(x−5)2+(x+1)2=2x2−8x+26，BC=(4−5)2+(5−0)2=26，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则2|x−4|=2x2−8x+26，解得x=34，此时P点坐标为(34,11916)；
当BE=BC时，则2|x−4|=26，解得x=4+13或x=4−13，此时P点坐标为(4+13,−413−8)或(4−13,413−8)；
当CE=BC时，则2x2−8x+26=26，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为(0,5)；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(34,11916)或(4+13,−413−8)或(4−13,413−8)或(0,5)．  
23. 110  
【解析】
1. 试题分析：根据倒数的定义进行解答即可．
∵(−3)×(−13)=1，
∴−3的倒数是−13．
故选A．
2. 解：∵(±2)2=2，
∴±2=±2，
故选：C．
根据平方与开平方互为逆运算，运用平方可得一个数的平方根．
本题考查了平方根，根据平方求平方根，注意一个正数的平方根有两个．
3. 解：将210000000用科学记数法表示为2.1×108．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 解：A、从正面看是矩形，故A错误；
B、从正面看是矩形，故B错误；
C、从正面看是三角形，故C正确；
D、从正面看是两个矩形，故D错误；
故选：C．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5. 解：A、12是无理数，原来的说法错误，符合题意；
B、面积为12的正方形边长是12，原来的说法正确，不符合题意；
C、12=23，原来的说法正确，不符合题意；
D、在数轴上可以找到表示12的点，原来的说法正确，不符合题意．
故选：A．
根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．
本题主要考查了实数，有理数，无理数的定义，要求掌握实数，有理数，无理数的范围以及分类方法．
6. 解：设距离为S，原来速度为v.则原来行车时间为sv；现在速度为(1+25%)v，时间为s(1+25%)v．
根据题意得sv−s(1+25%)vsv=k%．
解得k=20．
故选D．
设距离为S，原来速度为v.分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．
此题考查列分式方程解应用题，难度在设参数，解字母系数的方程．
7. 解：二月份的产值为：50(1+x)，
三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，
故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．
故选：D．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
本题主要考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．
8. 解：因为甲、丙的平均数比乙、丁大，而丙的方差比甲的小，
所以丙的成绩比较稳定，
所以丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙，
故选：B．
先比较平均数得到甲和丙成绩较好，然后比较方差得到丙的状态稳定，于是可决定选丙去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.也考查了平均数的意义．
9. 解：设a+43=b+32=c+84=k，
则a=3k−4，b=2k−3，c=4k−8，
∵a+b+c=12，
∴3k−4+2k−3+4k−8=12，
解得，k=3，
∴a=5，b=3，c=4，
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形，
故选C．
根据a+43=b+32=c+84，可以设a+43=b+32=c+84=k，然后根据a+b+c=12，可以求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状．
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答此类问题的关键是明确题意，求出a、b、c的值．
10. 解∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠A−α+∠B+β+∠C+γ=180∘，
∴β+γ−α=0∘，
∴α−β=γ，
故选C．
根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180∘，∠A−α+∠B+β+∠C+γ=180∘，代入求出即可．
本题考查了三角形内角和定理的应用，解此题的关键是能根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180∘，∠A−α+∠B+β+∠C+γ=180∘．
11. 解：原式=x(x−2)+(x−2)=(x+1)(x−2)．
故答案是：(x+1)(x−2)．
通过两次提取公因式来进行因式分解．
本题考查了因式分解−提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
12. 解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2−x≥0且x+1≠0，
解得：x≤2且x≠−1．
故答案为：x≤2且x≠−1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13. 解：∵∠A=65∘，∠B=75∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−65∘−75∘=40∘，
∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
∴∠C′=∠C=40∘，
∴∠3=∠1+∠C′60∘，
∴∠4=120∘，
∵∠A+∠B+∠4+∠2=360∘，
∴∠2=100∘．
故答案为100∘．
先根据三角形的内角和定理可出∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−65∘−75∘=40∘；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40∘，再利用三角形的内角和定理以及外角性质计算即可．
本题考查了折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．
14. 解：如图；
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB=90∘；
Rt△OPB中，OB=2OP，
∴∠A′BO=30∘；
∴∠ABA′=60∘；
②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时；
同①，可求得∠A′BO=30∘；
此时∠ABA′=90∘+30∘=120∘；
故旋转角α的度数为60∘或120∘，
故答案为：60∘或120∘．
当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论．
此题主要考查的是切线的性质，以及解直角三角形的应用；需注意切线的位置有两种情况，不要漏解．
15. 先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
16. 解：(1)第一图案的长度L1=0.3×3=0.9，第二个图案的长度L2=0.3×5=1.5；
故答案为：0.9，1.5；

(2)观察可得：第1个图案中有花纹的地面砖有1块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块，…
故第n个图案中有花纹的地面砖有n块；
第一个图案边长L=3×0.3，第二个图案边长L=5×0.3，则第n个图案边长为L=(2n+1)×0.3；

(3)把L=30.3代入L=(2n+1)×0.3中得：
30.3=(2n+1)×0.3，
解得：n=50，
答：需要50个有花纹的图案．
(1)观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个有花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长3×0.3=L，第二个图案边长5×0.3=L，
(2)由(1)得出则第n个图案边长为L=(2n+1)×0.3；
(3)根据(2)中的代数式，把L为30.3m代入求出n的值即可．
此题考查了平面图形的有规律变化，以及一元一次方程的应用，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
17. 解：(1)如图所示，△A1BC1为所求三角形；
(2)根据(1)得C1点的坐标为(1,0)．
故答案为：(1,0)．
(1)延长BC到C1，使CC1=BC，延长BA到A1，使AA1=BA，连接A1C1，可得出所求三角形；
(2)根据图形确定出C1点的坐标即可．
此题考查了作图−位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
18. 先在Rt△ABC中利用45∘的三角函数可计算出AC，再在Rt△ADC中利用∠D的正切值可求出CD的长，然后计算CD−BC即可．
本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
19. (1)根据△>0求出k的取值范围，再根据k是非负整数进而确定k的值．
(2)a、b是关于x的方程kx2+2(k−3)x+(k−3)=0的两个不相等的实根，由韦达定理得出a+b及ab的值，再根据待定系数法求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点及根的判别式，难度较大，关键掌握用待定系数法求函数的解析式．
20. (1)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出卡片正面上的数字之积大于4的结果数，然后根据概率公式求解；
(2)利用树状图得到共有12种等可能的结果数，再找出组成的两位数恰好是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21. (1)由30～45分钟的百分比乘以360∘即可得到结果；
(2)求出15～30分钟的学校个数，补全条形统计图即可；
(3)先求出60～75分钟的学校个数，再除以40即可得到结果．
本题考查了频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22. (1)由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在(2)②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
23. (1)解：过点P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180∘，∠C+∠CPE=180∘，
∵∠PAB=130∘，∠PCD=120∘，
∴∠APE=50∘，∠CPE=60∘，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110∘．

(2)∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE//AB交AC于E，

∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

(3)如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA=∠α−∠β；

如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA=∠β−∠α．

(1)过P作PE//AB，通过平行线性质求∠APC即可；
(2)过P作PE//AD交AC于E，推出AB//PE//DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
(3)分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．