江苏省13市2014年中考数学试题分类汇编专题20压轴题(解析版).doc

江苏省13市2014年中考数学试题分类解析汇编（20专题）
专题20：压轴题
江苏泰州锦元数学工作室 编辑

1. （2014年江苏镇江3分）已知过点的直线不经过第一象限.设，则s的取值范围是【 】
A. B. C. D.
2. （2014年江苏扬州3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60º，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则【 】

A. B. C. D.
3. （2014年江苏盐城3分）如图，反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是【 】

A. B. C. D.
【答案】A．
4. （2014年江苏徐州3分）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于【 】
A.3 B.2 C.3或5 D.2或6

故选D．
5. （2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【 】

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. （2014年江苏无锡3分）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画【 】
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
【答案】B．
【考点】1.作图（应用与设计作图）；2.等腰三角形的判定和性质；3.分类思想的应用.
【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可：
如答图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选B．

7. （2014年江苏泰州3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是【 】
A．1，2，3 B． C． D．
8. （2014年江苏苏州3分）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为【 】

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，4）
【答案】C.
【考点】1.坐标与图形的旋转变化；2.勾股定理；3. 等腰三角形的性质；4.三角形面积公式．
【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标：
如答图，过O’作O’F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（2，），∴AE=，OE=2.
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A’B=3，

9. （2014年江苏南通3分）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是【 】

A. B. C. D.
10. （2014年江苏南京2分）如图，在矩形中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为【 】

A.（，）、（，） B.（，）、（，）
C.(，)、（，） D.(，) 、（，）
11. （2014年江苏连云港3分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）.若函数在第一象限内的图像与△ABC有交点，则的取值范围是【 】

A. 2≤≤ B. 6≤≤10 C. 2≤≤6 D. 2≤≤
【答案】A．
【考点】1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法的应用；23.曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式．
【分析】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，

12. （2014年江苏淮安3分）如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为【 】

A. 3π B. 3 C. 6π D. 6
【答案】B．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而直接根据扇形的面积公式求解：该圆锥的侧面积=×2×3=3．故选B．
13. （2014年江苏常州2分）在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有【 】
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C．
【考点】1.面动平移问题；2.直线与圆的位置关系；3.一次函数的性质；4.勾股定理；5.含30度角直角三角形的性质；6.分类思想和数形结合思想的应用．

1. （2014年江苏镇江2分）读取表格中的信息，解决问题.
n=1

n=2
a2=b1+2c1
b2=c1+2a1
c2=a1+2b1
n=3
a3=b2+2c2
b3=c2+2a2
c=a2+2b2
…
…
…
…
满足的n可以取得的最小整数是 ▲ ．
【答案】7．
【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2. 二次根式化简；3.不等式的应用．
【分析】由，
，
，
…

2. （2014年江苏扬州3分）设是从这三个数中取值的一列数，若，，则中为0的个数 ▲ .

3. （2014年江苏盐城3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 ▲ ．（用含n的代数式表示，n为正整数）

4. （2014年江苏徐州3分）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 ▲ ．
5. （2014年江苏宿迁3分）如图，一次函数y=kx﹣1的图象与x轴交于点A，与反比例函数（x＞0）的图象交于点B，BC垂直x轴于点C．若△ABC的面积为1，则k的值是 ▲ ．

【答案】2.
【考点】1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系．
【分析】∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，

6. （2014年江苏无锡2分）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ▲ ．

7. （2014年江苏泰州3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 ▲ cm．

【答案】1cm或2cm．
8. （2014年江苏苏州3分）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是 ▲ ．

【答案】1.

9. （2014年江苏南通3分）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于 ▲ ．
10. （2014年江苏南京2分） 已知二次函数中，函数y与x的部分对应值如下：

...
-1
0
1
2
3
...

...
10
5
2
1
2
..
则当时，x的取值范围是 ▲ .
【答案】.
【考点】二次函数的性质.
【分析】由已知对应值，知二次函数的对称轴是x=1，补充表格如下：
x
...
-1
0
1
2
3
4
5
...
y
...[
10
5
2
1
2[
5
10
...
∴当时，x的取值范围是.
11. （2014年江苏连云港3分）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF，如图2，展开再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为M，EM交AB于N，则tan∠ANE= ▲ .

【答案】.
12. （2014年江苏淮安3分）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为 ▲ ．

【答案】.
【考点】1.探索规律题（图形的变化类）；2. 正方形的性质；3. 三角形的中位线的性质；4.相似多边形的性质．
【分析】寻找规律：
13. （2014年江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数的图像经过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且∠ABO=3，那么A点的坐标是 ▲
【答案】（－2，0）或（4，0）．
【考点】1.待定系数法求一次函数解析式；2.锐角三角函数的定义；3.分类思想的应用．
【分析】如答图，在Rt△AOB中，由tan∠ABO=3，可得OA=3OB，
则一次函数y=kx+b中．
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），
∴当k=时，求可得b=，一次函数的解析式为.
令y=0，则x=－2.
当k=时，求可得b=，一次函数的解析式为.
令y=0，则x=4.
∴点A的坐标是（－2，0）或（4，0）．

1. （2014年江苏镇江9分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．
（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；
（2）小丽发现：将抛物线绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；
（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），．
①写出C点的坐标：C（ ▲ ， ▲ ）（坐标用含有t的代数式表示）；
②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．

∴所得新抛物线的对称轴是y轴，
（3）①根据三角形相似即可求得C的坐标；
如答图，过P作x轴的垂线，交x轴于M，过C作CN⊥MN于N，
∵，∴.
∵易得△APM∽△PCN，∴.
∵AM=2-1=1，PM=4，∴PN=t，CN=4t.
∴MN=4+t.
∴C（-4t+2，4+t），
②由（1）可知，旋转后的新抛物线是，新抛物线是过P（2，4），求得新抛物线的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．
2. （2014年江苏镇江10分）我们知道平行四边形有很多性质.
现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
【发现与证明】ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.
……
请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.
【应用与探究】在ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
（1）如图1，若，则∠ACB= ▲ °，BC= ▲ ；
（2）如图2，，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？

【答案】解：【发现与证明】证明：如答图1，设AD与B′C相交于点F，
∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴△ABC≌△△AB′C，∠ACB=∠ACB′，BC= B′C.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC.
∴B′C=AD，∠ACB=∠CAD.
∴.∴AF=CF.
∴B′F=DF.
∴.
∵∠AFC=∠B′FD，∴.∴B′D∥AC.

3. （2014年江苏扬州12分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装，专卖店又缺少资金. “中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）.已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示. 该店支付员工的工资为每人每天82元，每天还应该支付其它费用为106元（不包含债务）.
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入=支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元

元．
【考点1.一次、二次函数和方程、不等式的应用；2.分类思想的应用．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式.
（2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案.
（3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
4. （2014年江苏扬州12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长
（2）若图1中的点P恰巧是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP. 动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E. 试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求线段EF的长度.
5. （2014年江苏盐城12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
∴，解得：x=1．
∴BH2=BD2﹣DH2=37﹣1=36．∴BH=6．∴ED+EC=6．
∵∠ADE=∠BCE=90°，且M、N分别为AE、BE的中点，
∴DM=EM=AE，CN=EN=BE．
6. （2014年江苏盐城12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF．
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ，∴PG+PH=4．
∴PG+PH的值为4．
【迁移拓展】由条件AD•CE=DE•BC联想到三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．
7. （2014年江苏徐州10分）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．
（1）k= ▲ ；
（2）试说明AE=BF；
（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．

整理得2a2+3a=0，解得a1=0（舍去）a2=﹣.
∴P点坐标为（1，﹣2）．
8. （2014年江苏徐州10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．

【答案】解：（1）证明：如图，
∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，
9. （2014年江苏宿迁附加10分）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

【答案】解：（1）证明：如图1，
∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．
∵点M为DE的中点，∴DM=EM．
在△ADM和△NEM中，∵，∴△ADM≌△NEM（AAS）．
∴AM=MN．∴M为AN的中点．

【考点】1.面动旋转问题；2. 等腰直角三角形的判定和性质；3.平行线的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.多边形内角与外角．.
【分析】（1）由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．
（2）易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．
（3）同（2）中的解题可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°﹣∠CBN，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．
10. （2014年江苏宿迁附加10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为顶点，求出该定点坐标．

（2）证明：如答图3，连接AD、BC．
由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB.
∴.
设A（x1，0），B（x2，0），
∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），
∴OC=﹣c，x1x2=C.
∴.
∴.
11. （2014年江苏无锡10分）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．
（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？
当n=6时，ω1=9900×0.04﹣20×6=276，ω2=300×6×6×0.04=432，ω1＞ω2不符合．
12. （2014年江苏无锡10分）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．
①试求S关于t的函数关系式；
②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．

【答案】解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．
．

13. （2014年江苏泰州12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．
（1）若直线AB与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

14. （2014年江苏泰州14分）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数（x＞0）与（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．
（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

15. （2014年江苏苏州9分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合AB＝4 cm，AD＝4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t(s)．
（1）如图①，连接OA，AC，则∠OAC的度数为 ▲ °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm)．当d<2时，求t的取值范围．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）

∴，即，解得.
综上所述，当d<2时，t的取值范围为＜t＜.

16. （2014年江苏苏州10分）如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）)求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在请说明理由．

过点F作FH⊥x轴于点H，
在Rt△CGO和Rt△FGH中,
∵tan∠CGO＝, tan∠FGH＝,
∴=.
∴OG=3m,
由勾股定理得，GF=，AD=
∴.
由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.
∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.
【考点】1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；17. （2014年江苏南通13分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．
（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；
（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．
∵CM2=EC2﹣EM2，∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，
∴CM=．
∵AB∥CD，∴∠AEM=∠MFD.
又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，∴∠AME=∠MCD.
∵∠MAE=∠CDM=90°，∴△MAE∽△CDM.
∴，即，解得a=1或3.
代入CM=得CM=或.
∵点G与点C重合，∴MG=或
（3）①当点M在AD上时，如答图2，过点M作MN⊥BC交BC于点N，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=A.
∴，MD=AD-AM=4-A.
∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，
∵∠MNG=∠MAE=90°，∴△MNG∽△MAE.
∴，即. ∴.
∴.
∴当a＞4时，S没有整数值．
综上所述，当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7．
18. （2014年江苏南通14分）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求线段DE的长；
（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x1y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．

【答案】解：（1）由抛物线可知，C（0，3），
令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）.
∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）.∴DF=4.
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；
，解得.
∴直线BC的解析式为；y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）.∴EF=2. ∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2．

【考点】1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.一元二次方程根与系数的关系；5.配方法的应用；6.偶次幂的非负数性质；7.平行的判定；8.锐角三角函数定义；9.相似三角形的判定和性质．
【分析】（1）根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得．
（2）设直线MN的解析式为y=k1x+b1，依据E（1，2）的坐标即可表示出直线MN的解析式y=（2﹣b1）x+b1，根据直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求得x2﹣b1x+b1﹣3=0，所以x1+x2=b1，x1 x2=b1﹣3；根据完全平方公式即可求得，所以当b1=2时，|x1﹣x2|最小值=2，因为b1=2时，y=（2﹣b1）x+b1=2，所以直线MN∥x轴．
（3）由D（1，4），则tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α，然后根据三角形外角的性质即可求得∠DPO=∠ADO，进而求得△ADP∽△AOD，得出AD2=AO•AP，从而求得OP的长，进而求得P点坐标.
19. （2014年江苏南京8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4 cm ，BC=3 cm，⊙O为△ABC的内切圆.
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s 的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆. 设点P运动的时间为 t s. 若⊙P与⊙O相切，求t的值.

∴，解得r=1.
∴⊙O的半径为1 cm.
（2）如答图2，3，过点P作PG⊥BC于点G，
∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC.
∴△PBG∽△ABC. ∴.
又∵BP=t，∴.
（2）为⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O内切两种情况讨论即可.
20. （2014年江苏南京11分）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ▲ ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ▲ ，则△ABC≌△DEF．
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）.∴∠A=∠D.
在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS）.
（3）答如图2，△DEF和△ABC不全等.

（4）∠B≥∠A．

21. （2014年江苏连云港12分）已知二次函数，其图像抛物线交轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.
（1）求此二次函数关系式；
（2）若直线经过抛物线顶点D，交轴于点F，且∥，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
（3）若过点A作AG⊥轴，交直线于点G，连OG、BE，试证明OG∥BE.

当x=时，可得E（，2）或E（，2），此时四边形CFDE为平行四边形．
②若CD为平行四边形的边，如答图2，则EF∥CD，且EF=CD．
【考点】1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3..曲线上点的坐标与方程的关系；4.平行四边形存在性问题；5.全等三角形的判定和性质；6.平行的判定；7.分类思想和方程思想的应用
【分析】（1）由二次函数图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用交点式写出，化为一般式即可.
（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有CD为平行四边形的对角线和CD为平行四边形的边两种情形讨论.
（3）过点E作EH⊥x轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点G与E的坐标，即可证得△OAG∽△BHE，则可得∠AOG=∠HBE，继而可证得OG∥BE．
22. （2014年江苏连云港14