三角恒等变换知识点总结.doc

第三章 三角恒等变换
一、知识点总结
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸ （）；
⑹ （）．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式，．
⑶．
3、

（后两个不用判断符号，更加好用）
4、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中．
5．（1）积化和差公式
sin·cos=[sin(+)+sin(-)] cos·sin=[sin(+)-sin(-)]
cos·cos=[cos(+)+cos(-)] sin·sin= -[cos(+)-cos(-)]
（2）和差化积公式
sin+sin= sin-sin=
cos+cos= cos-cos= -
tan+ cot= tan- cot= -2cot2
1+cos= 1-cos=
1±sin=()2
6。（1）升幂公式
1+cos= 1-cos=
1±sin=()2 1=sin2+ cos2
sin=
（2）降幂公式
sin2 cos2
sin2+ cos2=1 sin·cos=

7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
②；问： ； ；
③；④；
⑤；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：； ；
；；
；；
； ；
；
= ；
= ；（其中 ；）
； ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如： ；
。
；
；推广：
；推广：
二、基础训练
1．下列各式中，值为的是 A、 　B、　C、　　D、　（答：C）；

2．已知，那么的值为____（答：）；
3．的值是______（答：4）；
4．已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）
5．已知，，那么的值是_____（答：）；
6．已知，且，，求的值（答：）
7．求值（答：1）；
8．已知，求的值（答：）
9．已知A、B为锐角，且满足，则＝_____（答：）；
10．若，化简为_____（答：）
11．函数的单调递增区间为___________（答：）
12．化简：（答：）
13．若方程有实数解，则的取值范围是___________.（答[－2,2]）；
14．当函数取得最大值时，的值是______(答：)；
15．如果是奇函数，则= (答：－2)；
16．求值：________(答：32)
17．若且，，求的值（答：）.

三、规范解题
1.. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵α－＋＋β＝α＋β＋
α∈() β∈(0,)
∴α－∈(0,) β＋∈(,π)
∴sin(α－)＝ cos()＝－
∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]
＝－cos[(α－)＋()]＝
2.．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2
解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)
=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)
=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-
=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-
=sin2+cos2-=1-=.
方法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2
=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2
=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2
=cos2-cos2·
=-cos2·
=-cos2=.
方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=·+·-cos2·cos2
=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2
=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2
=cos2(+)-·cos(2+2)
=cos2(+)- ·［2cos2(+)-1］=.
3．已知；
(1) 求的值； (2) 设，求sinα的值．
解：（1）∵
∴
（2）
∴
16sin22－4sinα－11＝0 解得
∵ 故
4．已知sin2 2α＋2α cosα－cos2α＝1，α(0，)，求sinα、tanα的值．
解：由已知得
sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0
即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0
cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0
∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1
∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝
5.设向量，若，，求的值。
【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.
解析:

【导引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换
6.已知<<<,
(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.
【解题思路】由同角关系求出再求；又结合角的范围定角。
[解析]（Ⅰ）由，得
∴，于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
,所以
【导引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
7.已知函数
（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；
（Ⅱ）求函数的值域.
本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.
解：（Ⅰ）

　＝
（Ⅱ）由得
在上为减函数，在上为增函数，
又（当），
即
故g(x)的值域为