2012年高考试题(福建卷)——数学(理).doc

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理）试题

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足zi=1-i，则z等于
A．-1-i B．1-i C．-1+i D．1+i
2．等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列命题中，真命题是
A．
B．
C．a+b=0的充要条件是=-1
D．a>1,b>1是ab>1的充分条件
4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是
A．球 B．三棱柱 C．正方形 D．圆柱
5．下列不等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为

A． B． C． D．
7．设函数则下列结论错误的是
A．D（x）的值域为{0,1}
B． D（x）是偶函数
C． D（x）不是周期函数
D． D（x）不是单调函数
8．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A． B． C．3 D．5
9．若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为[
A． B．1 C． D．2
10．函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P。设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；
②f（x2）在[1,]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有
其中真命题的序号是
A．①② B．①③ C．②④ D．③④

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11．（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________。
12．阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于_____________________。

13．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．
14．数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________。
15．对于实数a和b，定义运算“﹡”：
设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
17．（本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°
（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
18．（本小题满分13分）
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？
若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，
说明理由。
（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长。

19．（本小题满分13分）
如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率。过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆E的方程。
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R。
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。
21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1。
（Ⅰ）求实数a，b的值。
（Ⅱ）求A2的逆矩阵。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2,0），，圆C的参数方程。
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且

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