直线的斜率与直线方程.doc

直线的斜率与直线方程（前置作业）
班级 姓名 学号_________
【知识梳理】
1．直线的倾斜角：（1）对于与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照 方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；
（2）对于与x轴平行或重合的直线，规定倾斜角为 。倾斜角的取值范围是 .
2．直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的 值叫做这条直线的斜率.常用表示，即= ，其取值范围是 .倾斜角是的直线没有
3．求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为，当时， 与的关系是 ；时，直线斜率 .
②公式法：已知直线过两点，且，则斜率= .
③方程法：已知直线方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)，当B≠0时，k= ; 当B=0时，k .平面直角坐标系内，每一条直线都有 ，但不是每一条直线都有
4．直线方程的五种形式：
名称
方程
适用范围
斜截式

点斜式

两点式

截距式

一般式

5．几种特殊直线的方程
①过点垂直于x轴的直线方程为 ; 特别地，y轴所在的直线方程为
过点垂直于y轴的直线方程为 ；特别地，x轴所在的直线方程为
②已知直线的纵截距为且斜率是k的直线方程可设为 .
③已知直线的横截距为且斜率是k的直线方程可设为 .
④过原点且斜率是k的直线方程为 .
【自主检测】
1．若直线的倾斜角为，则的斜率是 ，若直线的斜率为，则的倾斜角是 ，经过两点、的直线的斜率是 ， 倾斜角是 .
2．若直线的方程是，其倾斜角为，则= .
3．直线xtan+y=0的倾斜角是__________
4．经过点，且斜率为的直线的点斜式方程是 ，斜截式方程是 ，经过两点和的直线l的两点式方程是 ，截距式方程是 ，一般式方程是 .

5.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是，经过点A（8,－2）； (2)经过点B(4,2），平行于轴；

(3)在轴和轴上的截距分别是－3； (4)经过两点.

6．下列说法中正确的有 ．4）
1）过点P的直线方程可设为
2）若直线l在两轴上的截距相等，则其方程可以设为
3）经过两点P，Q的直线的斜率为
4）如果AC<0，BC>0那么直线不通过第二象限

直线的斜率
【复习目标】：1. 了解确定直线位置的几何要素，对直线的倾斜角，斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围，理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率。
2.掌握直线方程的几何形式的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系。

【重点难点】：
1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；
4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几何形式，了解斜截式与一次函数的关系。

【典型例题】
【例1】直线l过点M（－1，1），且与以P（2，2），Q（3，3）为两端点的线段PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范围．

方法提炼：

【例2】已知点A（3，4），求经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

方法提炼：

【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
（1）若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程，
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

方法提炼：

【例4】直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。

方法提炼：
【例5】过点的直线l交两坐标轴的正半轴于A、B两点，
求使：（1）△AOB面积最小时L的方程．（2）最小时l的方程．

课 后 作 业
班级 姓名 学号

x
y
l1
l2
O
l3
l4
1．如图的四条直线l1、l2、l3、l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则k1，k2，k3，k4由小到大的排列顺序为 ．

2.直线绕原点逆时针旋转，求所得直线的倾斜角和斜率。

3．已知直线满足，则该直线过定点 ．

4．直线和以为端点的线段相交,则实数的取值范围 .

5．过点（3，1），且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是___________

6.（1）不论取何值，直线恒过定点

（2）若满足，直线x+3y+=0恒过定点__________

7．过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是__________

8．直线的倾斜角是 .

9．直线的倾斜角的范围是 .

10．一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）

直线的斜率与直线方程（前置作业）
班级 姓名 学号_________
【知识梳理】
1．直线的倾斜角：（1）对于与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照 方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；
（2）对于与x轴平行或重合的直线，规定倾斜角为 。倾斜角的取值范围是 .
2．直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的 值叫做这条直线的斜率.常用表示，即= ，其取值范围是 .倾斜角是的直线没有 .
3．求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为，当时， 与的关系是 ；时，直线斜率 .
②公式法：已知直线过两点，且，则斜率= .
③方程法：已知直线方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)，当B≠0时，k= ; 当B=0时，k .平面直角坐标系内，每一条直线都有 ，但不是每一条直线都有
3．直线方程的五种形式：
名称
方程
适用范围
斜截式

点斜式

两点式

截距式

一般式

3．几种特殊直线的方程:
①过点垂直于x轴的直线方程为 ; 特别地，y轴所在的直线方程为
过点垂直于y轴的直线方程为 ；特别地，x轴所在的直线方程为
②已知直线的纵截距为且斜率是k的直线方程可设为 .
③已知直线的横截距为且斜率是k的直线方程可设为 .
④过原点且斜率是k的直线方程为 .
【自主检测】
1．若直线的倾斜角为，则的斜率是 ，若直线的斜率为，则的倾斜角是 ，经过两点、的直线的斜率是 ， 倾斜角是 .
， ， ，
2．若直线的方程是，其倾斜角为，则= .

3．直线xtan+y=0的倾斜角是__________

4．经过点，且斜率为的直线的点斜式方程是 ，斜截式方程是 ，经过两点和的直线l的两点式方程是 ，截距式方程是 ，一般式方程是 .

，， ， ， .
5.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是，经过点A（8,－2）； (2)经过点B(4,2），平行于轴；

(3)在轴和轴上的截距分别是、－3； (4)经过两点.
(1)由点斜式得
化成一般式得
(2)由斜截式得＝2，化成一般式得－2＝0
(3)由截距式得，化成一般式得
(4)由两点式得，化成一般式得
6．下列说法中正确的有 ．4）
1）过点P的直线方程可设为
2）若直线l在两轴上的截距相等，则其方程可以设为
3）经过两点P，Q的直线的斜率为
4）如果AC<0，BC>0那么直线不通过第二象限
直线的斜率
【复习目标】：1. 了解确定直线位置的几何要素，对直线的倾斜角，斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围，理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率。
2.掌握直线方程的几何形式的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系。

【重点难点】：
1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；
4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几何形式，了解斜截式与一次函数的关系。

【典型例题】
【例1】直线l过点M（－1，1），且与以P（2，2），Q（3，3）为两端点的线段PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范围．

【例2】已知点A（3，4），求经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

方法提炼：

【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
（1）若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程，
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0. ∵当直线不经过原点时，由截距存在且均不为0，
∴＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
(2)解法一：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或∴ a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1
解法二：将l的方程化为(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．
它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0的交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由
图象可知l的斜率为－(a＋1)≥0即当a≤－1时，直线l不经过第二象限．

方法提炼：

【例4】直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。

例3．直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。
解析：设所求直线的方程为，
∵直线过点P（-5，-4），，即。
又由已知有，即，
解方程组，得：或
故所求直线的方程为：，或。
即，或
点评：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种：
（1）从点的坐标或中直接观察出来；
（2）由斜截式或截距式方程确定截距；
（3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。

方法提炼：
【例5】过点的直线l交两坐标轴的正半轴于A、B两点，
求使：（1）△AOB面积最小时L的方程．（2）最小时l的方程．

【例4】
方法一 设直线的方程为 (a＞2,b＞1),由已知可得.
（1）∵2≤=1，∴ab≥8.∴S△AOB=ab≥4.
当且仅当==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.
（2）由+=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,
|PA|·|PB|=··
=·
≥.
当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x+y-3=0.
方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0),
则l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B（0，1-2k）.
（1）S△AOB=（1-2k）=×≥（4+4）=4.
当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
·
（2）|PA|·|PB|==≥4,
当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
另解析：依题意作图，设∠BAO＝，
则，
，
当，即时的值最小，此时直线的倾斜角为135°，
∴斜率。故直线的方程为，即。

课 后 作 业
班级 姓名 学号

x
y
l1
l2
O
l3
l4
1．如图的四条直线l1、l2、l3、l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则k1，k2，k3，k4由小到大的排列顺序为 ．
答案：
2.直线绕原点逆时针旋转，求所得直线的倾斜角和斜率。
，

3．已知直线满足，则该直线过定点 ．

4．直线和以为端点的线段相交,则实数的取值范围 .
.

5．过点（3，1），且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是___________
答案：

6.（1）不论取何值，直线恒过定点

（2）若满足，直线x+3y+=0恒过定点__________
4.（1,1） （）

7．过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是__________
答案：－

8．一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）
分析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
从而方程为8x－15y+6=0
（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，
此时＝，∴k＝－＝－
∴方程为2x+3y－12=0
点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值

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