第四章411.docx

4．1.1　圆的标准方程
学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．

知识点一　圆的标准方程
思考1　确定一个圆的基本要素是什么？
答案　圆心和半径．
思考2　在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？

答案　能．
1．以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
知识点二　点与圆的位置关系
思考　点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？

答案　|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|　　)
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________．
答案　(1)D
(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25　(3)(x－1)2＋(y－1)2＝4
解析　(1)∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
半径为|AB|＝＝5，
∴该圆的标准方程为x－1)2＋(y－2)2＝25.
(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，
又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(3)方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意知解得
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二　由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上，
∵AB的中点为(0,0)，AB的斜率k＝－1，
则AB的垂直平分线为y－0＝x－0.
解方程组
得
∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝2.
则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
反思与感悟　(1)直接法
根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程．
(2)待定系数法
①根据题意，设出标准方程；
②根据条件，列关于a，b，r的方程组；
③解出a，b，r，代入标准方程．
(3)常见的几何条件与可以转化成的方程
①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程．
②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径．
③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心．
④弦的垂直平分线经过圆心．
跟踪训练1　求下列圆的标准方程：
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；
(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上．
解　(1)设圆心(0，b)，
则＝5，
得b＝0或－8，
所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6.
其方程为y＋1＝－6(x－4)，
即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－(x－)，
即5x＋7y－50＝0上，
所以由
解得圆心坐标为(3,5)，
所以半径为＝，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
(3)线段AB的垂直平分线为
y－2＝2(x－3)，
令y＝0，则x＝2，
∴圆心坐标为(2,0)，
半径r＝＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
类型二　点与圆的位置关系
例2　(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．不确定
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________________．
答案　(1)B　(2)[0,1)
解析　(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
∴点P在圆外．
(2)由题意知(5＋1－1)2＋()2<26，
即解得0≤a<1.
反思与感悟　(1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
跟踪训练2　已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是____________．
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，
2a2－2>0，
即a<－1或a>1，
类型三　与圆有关的最值问题
例3　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解　(1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，
设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时＝，
解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时＝.即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
反思与感悟　与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线
y＝－x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
跟踪训练3　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求：
(1)x2＋y2的最值；
(2)x＋y的最值．
解　(1)由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．
原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，
故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，
最小距离为1－＝，
因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
(2)令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．
当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，
此时有＝，
解得z＝±－1，
即最大值为－1，最小值为－－1.

1．圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　D
解析　圆的半径r＝＝，
圆心坐标为(1,1)，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．－11或a<－1 D．a＝±1
答案　A
解析　∵点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4∴－1的距离与半径比较大小．
(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2.
2．求圆的标准方程时常用的几何性质
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心．
(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
(3)圆心与切点的连线长是半径长．
(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．
3．求圆的标准方程常用方法
(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．

一、选择题
1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为(　　)
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
答案　A
2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案　B
解析　如图，结合圆的性质可知原点在圆上，

圆的半径r＝＝.
故所求圆的方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．点(，)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
答案　C
解析　因为()2＋()2＝1>，
故点(，)在圆外．
4．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是(　　)
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
答案　D
解析　设圆心坐标为(a,0)，
由题意知＝，
∴|a|＝5，
∵圆C位于y轴左侧，
∴a＝－5，
∴圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
5．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
答案　A
解析　已知圆的圆心为(－2,1)，
关于原点的对称点的坐标为(2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
6．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．
7．方程y＝表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两条射线
C．半个圆 D．一条射线
答案　C
解析　由y＝两边平方可化为
x2＋y2＝36(y≥0)，
故表示圆x2＋y2＝36在x轴上面的半圆．
二、填空题
8．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．
答案　5＋
解析　点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋.
9．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．
答案　2＋2＝1
解析　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由题意得解得
∴所求圆的方程为2＋2＝1.
10．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．
答案　(x－2)2＋(y－1)2＝1
解析　∵圆心在第一象限，而且与x轴相切，
∴可设圆心坐标为(a,1)，
圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，
＝1，得a＝2或a＝－(舍去)，
∴该圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
11．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值是________．
答案　
解析　的几何意义是表示两点(x，y)与(1,2)连线的斜率，
而点(x，y)在圆x2＋y2＝1上，
由图形可知，过点P(1,2)作圆的切线，
由图知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，
则PB的斜率即为所求．
∴设PB的方程为y－2＝k(x－1)，得kx－y－k＋2＝0，
又∵PB和圆相切，
∴＝1，得k＝.
∴的最小值为.
三、解答题
12．已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．
解　因为S＝
＝，
又点(x，y)在圆(x－1)2＋y2＝1上运动 ，
即S表示圆上的动点到定点(－1,1)的距离，
如图所示，显然当定点(－1,1)和圆心(1,0)共线时取得最值，
且最小值为－1＝－1，
所以S＝的最小值为－1.
13．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解　设圆心坐标为(a，b)，
∵AB的中点为(1,6)，
∴AB的垂直平分线为y＝6，
∵圆心(a，b)在AB的垂直平分线上，
∴b＝6，
由题意得＝，
解得a＝3或－7，
当a＝3时，r＝＝2.
当a＝－7时，r＝＝4.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20
或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.