3T1R解耦并联机构动力学与惯量耦合特性分析.pdf

2023年9 月第54卷第9 期农报学业机械doi:10.6041/j.issn.1000-1298.2023.09.0453T1R解耦并联机构动力学与惯量耦合特性分析朱小蓉赵磊沈惠平（常州大学机械工程学院，常州2 1316 4）摘要：对一种3T1R解耦并联机构的动力学性能及其惯量耦合强度进行了分析。对机构进行运动学分析，给出了机构的位置正反解方程，得到动平台的雅可比矩阵，推导了机构各构件的速度、加速度；基于牛顿-欧拉法，考虑构件重力以及外负载，建立了机构逆向动力学模型，并用ADAMS软件进行了仿真验证；基于所建的逆向动力学模型，分析了加速度和动平台姿态角对支链驱动力的影响；基于关节空间的惯量矩阵，建立了惯量耦合强度评价指标，分析了其在工作空间内的分布规律，并与降耦前Quadrupteron机构的惯量耦合强度进行了对比分析。结果表明,结构降耦不仅降低了支链间的耦合强度，而且整个工作空间内惯量耦合强度的分布更为一致，提升了机构动态性能的各向同性。关键词：并联机构；牛顿-欧拉法；逆向动力学模型；惯量耦合强度中图分类号：TH112文献标识码：A文章编号：10 0 0-12 9 8（2 0 2 3）0 9-0 448-11OSID:Dynamics Coupling Characteristics of 3T1R Decoupled Parallel ManipulatoZHU XiaorongZHAO LeiSHEN Huiping(School of Mechanical Engineering,Changzhou University,Changzhou 213164,China)Abstract:The dynamic performance and inertia coupling strength of a 3T1R decoupling parallelmechanism(PM)were analyzed.Firstly,the kinematics of the mechanism was established,and theforward kinematics and inverse kinematics were given to obtain the Jacobian matrix of the movingplatform,where the velocity and acceleration of each link and the moving platform were derived.Basedon the Newton-Euler method,the inverse dynamics model of the mechanism was established consideringthe gravity of the components and the external load.The driving forces of the PM were solved,which wasthen verified by ADAMS dynamics simulation.At the same time,the influences of acceleration and theattitude angle of the moving platform on the driving force of the branch chain were analyzed based on theestablished dynamics model and the analysis results can provide theoretical basis for trajectory planning ofthe mechanism.Finally,an inertia coupling evaluation index was proposed based on the inertia matrix inthe joint space,which represented the coupling strength of the driving branches when the PM worked atdifferent poses in the workspace.Then the distribution law of the index in workspace was studied andcompared with that of the Quadrupteron mechanism before decoupling.The results showed that thedecoupling of the PM not only reduced the coupling strength between the branches,but also made thedistribution of the coupling strength in the workspace more consistent,which improved the isotropy of thedynamic performance of the mechanism.Key words:parallel mechanism;Newton-Euler method;inverse dynamic model;inertia couplingstrength0引言四自由度（3CRR/R）&C R U并联机构，是对Quadrupteron机构进行结构降耦所得1-2 ,机构具有运动解耦、耦合度低、工作空间大、转动能力强等特点，在装配、包装及码垛等高速运动工程领域有较好收稿日期：2 0 2 3-0 2-155修回日期：2 0 2 3-0 3-2 3基金项目：国家自然科学基金项目（519 7 50 6 2、5147 50 50）作者简介：朱小蓉（19 7 2 一），女，副教授，博士，主要从事机构学和并联机构研究，E-mail：z x r c c z u.e d u.c n449朱小蓉等：3T1R解耦并联机构动力字耦合特性分析第9 期的应用前景。良好的动力学性能是高速运动并联装备的重要保证。目前并联机构动力学建模主要有拉格朗日法3-4、虚功原理5-8 、牛顿-欧拉法9-14 等方法,其中牛顿-欧拉法因为概念清晰、关节支反力/力矩可由平衡方程递推获得而得到了广泛应用。LI等9 基于牛顿-欧拉法对一种4自由度SCARA型并联机构进行动力学建模，以单驱动关节的驱动力最小为优化目标实现了机构的尺寸综合。王庚祥等10 将机构的关节摩擦力视为非保守内力，采用牛顿-欧拉法建立了含恰约束支链4SPS/CU并联机构的动力学方程，推导出关节的约束反力/力矩，并讨论了关节摩擦对机构驱动力的影响。冯志友等 采用牛顿-欧拉法对2 UPS2 R PS并联机构进行动力学建模，讨论了给定动平台运动规律和外力条件下的机构驱动力和约束力矩。CHEN等12 基于牛顿-欧拉法，通过设置兼容方程，建立了一种过约束并联机构的动力学方程，并以驱动力最小为优化目标进行动力学性能优化。GUO等13 考虑球关节、万向节和滚珠丝杠的摩擦效应，采用牛顿-欧拉法建立了5自由度混联机器人的显式动力学模型。并联机构的闭环多分支结构特征导致了支链之间存在较强的耦合，影响机构高速、重载运动时的动态性能。TOURASSIS等15 提出了机器人动力学方程中惯量矩阵的中心地位，解释了惯量矩阵的结构特征及物理意义，并以串联机器人为例引人惯量耦合系数对机构动力学特性进行评价。ASADA16利用惯量椭球来表征刚体的动力学特性。这种基于惯量的动态指标已逐渐推广到并联机器人的动力学性能评估和参数优化，研究工作主要集中在耦合惯性矩阵的分析方面。LIU等17 对 Stewart平台的惯性矩阵进行解耦，以惯性矩阵的最大特征值作为惯性指标,对 Stewart 平台进行尺寸优化。宋轶民等18 定义系统惯性矩阵条件数的倒数为评价系统动力学性能的局部指标,对非余3-RRR和余4-RRR平面并联机构的动力学性能进行了比较。王冬等19 定义机构惯量矩阵的非对角元素之和作为惯量耦合指标，以3-PRS并联机构为例，分析了耦合指标在工作空间内的分布，并用实验进行了验证。文献2 0-2 3 提出了统一量纲的惯量耦合强度指标，研究了评价指标随机构运动状况的变化规律。WU等2 4 提出了任务空间中各向同性的动态性能指标,综合考虑了动力学模型中加速度、速度、重力等影响因素,并以4自由度机器人为例验证了性能指标的有效性。本文基于牛顿-欧拉法，考虑构件重力以及外负载建立（3CRR/R）&C R U 并联机构的逆向动力学模型,并利用有限元仿真验证模型的正确性。基于关节空间的惯量矩阵，建立支链间惯量耦合强度评价指标,分析其在工作空间内的分布规律,并与结构降耦前的机构进行对比分析。1机构描述及运动学分析1.1机构描述(3CRR/R）&C R U 机构的结构简图如图1所示，可看成由两个子结构并联而成。动平台2 一方面通过C4,R42U43支链直接与静平台0 相连；另一方面通过转动副Rp、中间平台1及3条CRR支链与静平台0 相连，其中3条CRR支链相互正交，分别沿、y、z 轴安装。与Quadrupteron机构相比，该机构由两个基本运动链组成，不仅耦合度降低、运动学解耦，而且全工作空间内所有位置的转动能力一致1，克服了一般并联机构耦合度强、控制复杂的弱点。子结构1R2B动平台22RB,23L中间平台1SCAN3y31UCA43AB,R自R20333131BSN4子结构20A图1(3CRR/R)&CRU并联机构Fig.1(3CRR/R)&CRU PM机构的4个驱动副分别安装在间距为L的4个轨道上。在固定轨道上点0 建立静坐标系Oxyz,该机构的末端动平台2 能够实现、y、z 3个方向的移动以及绕垂直方向轴线的转动。设机构输人矢量为（p1，P2，P3，p 4）,末端输出点D的位姿为（x，）,其中为动平台的姿态转角。h为中间平台和动平台之间的高度差，动平台长度为l,转动副R;3在中间平台的安装基点为点C.,分布在半径为r的圆周上，以中间平台点N为原点建立图2 所示坐标系Nuvw,w轴垂直于中间平台,NC,与u轴的安装角为。机构定长杆A,B;、B,C,杆长分别为la、l z（i=1,2,3,4）;杆件A,B、B,C,转动角分别定义为Q;1、0 z 2（i=1,2,3,4）。机构支链1、2、3、4存在的运动学关系分别为n=P1-rc3yn=L-luc0u-i2c(01+12)-rs;(1)zn=lus01+l12s(0u+012)农2023年450机报学业械CBB2Nu图2运动副在中间平台1上的分布Fig.2Distribution of pairs on moving.platform 1x=l21 c21+l22c(021+022)-rc2yN=P2-Ts2(2)Lz=L-l21 s021-l22 s(021+022)x=l31 031+l32c(031+032)-rclyn=l31s031+l32s(031+032)-rs3(3)LzN=P3c.=L-la1c041-la2c(041+042)=x+lcpYc4=p4=yn+lso(4)zca=L-l4 041-l42s(041+042)=zn+h式中,c表示余弦函数；s表示正弦函数。1.2机构位置正反解由式（1）（4)可得机构位置反解方程D=pi-rc3yD=P2-rs2ZD=p3+h(5)P4-P2+rs2S:1机构位置正解方程为P1=D+rc3P2=yD+rsB2(6)P3=Zp-hLp4=p2+rs,+lsp由式（5）、（6)可知，机构、y、z 方向的移动输出与3支链的驱动输人P1vP2P:存在一一对应关系,且互相之间独立,转动输出仅与p2P4相关,故机构具有运动学解耦特性。1.3动平台速度和加速度设机构驱动支链的驱动速度为p=p l p 24T,加速度为=T;动平台线速度=,加速度=,机构速度雅可比矩阵为J。对式(6)关于时间求导，可得p=Jx(7)其中100100J=010LO10lcpJ1.4中间平台速度和加速度根据动平台与中间平台的位置关系，以及机构的位置正反解方程式（5）、（6），可得中间平台几何中心在坐标系0 xyz系下的矢量表示为（，y 1，z），其中r,=P1-rc3yi=P2-rs2(8)Lz1=P3对式(8)关于时间求一阶和两阶导数,可得中间平台几何中心输出速度=p,加速度a=;。另，由于中间平台仅做平动,其角速度,和角加速度8,均为0。1.5驱动杆A,B，速度和加速度由式（1）（4)可推导得M,sO1+N,cO1=K;(i=1,2,3,4)(9)中M,=2zllN,=2l.(L-yn-Ts,)(10)K,=2%+(L-y-rs,)?+li-li2M,=2l21(L-z)N,=2l2(xn+rc2)(11)K,=(L-z)+(xn+rs,)+21-l2M,=2(y+rs,)l31N,=2(xn+rc.)l31K,=(yn+rs,)?+(xn+rc.)+lji-I;2(12)其中M4=2l4i(L-Zn-h)N4=214i(L-xn-lcp)K4=(L-zn-h)?+(L-xn-lc)+l-la2(13)对式(9)求解,可得杆A,B,转动角为M,M+N-K9i=2arctan(14)N,+K,则杆件A,B，质心速度和角速度为1(15)Vi12Bi(VBi-VA:)XeAiBiWil(16)式中eAiBi点A,到点B，的单位向量VAiVBi点A;、B,在静坐标系中的速度451第9 期朱小蓉等：3T1R解耦并联机构动力惯量耦合特性分析对式（15）、（16）求导，可得杆A,B,质心加速度和角加速度为1ail(17)2Bi(aBi-aA:)XeAiBi(VBi-VA:)e AiBi8il(18).十.1.6被动杆BC.速度和加速度同样,杆B,C,质心的速度和角速度为+Vci)(i=1,2,3,4)(19)2(Vci-VB:)e BiciWi2(20)1对式（19）、（2 0）求导，可得杆B,C,质心加速度和角加速度为(21)aVc）B十i22(aci-agi)xeBici(Vci-VBi)Bici82(22)2并联机构动力学模型采用牛顿-欧拉法建立机构的动力学模型，分别以运动构件和动平台为研究对象进行受力分析。为简化模型做如下假设：构件及动平台为质量集中分布的刚体单元，构件几何中心与其重心重合，重力矢量在z轴负方向。动平台所受外载荷简化为过其几何中心的力F。和力矩M。与机架相连的移动副为驱动副，采用伺服电机+减速器+滚珠丝杆副的驱动形式。2.1子结构1中各运动构件子结构1由3条相同的CRR支链并联而成，应分别进行受力分析。2.1.1驱动杆A,B,受力分析驱动杆A,B（i=1,2,3）两端分别通过圆柱副和转动副与定平台（包括驱动装置）和被动杆B,C,相连，受力如图3所示。M61B61ZLVmgMaF图3驱动杆A,B受力分析Fig.3Force analysis of rod A,B;在圆柱副处驱动杆受力Fa=（Fa i n，Fa i y，Fa）和力矩Ma.=（M a i x，M a i y，M a a）作用，在转动副处受杆其中式中B,C,的约束力Fb：=（Fb i x，Fb i y,Fb i a）和约束力矩Mb:=（M b i z，M i y，M r i a）,以及连架杆自重mig。其中,Falx、Fa2y、Fa 3.分别为作用在支链1、2、3丝杆螺母上的主驱动力，记为T1、T 2、T 3。又根据支链布局，约束力矩可分别记为Ma=（0,M a l y，M a l）、M a=（M a 2 x,0,Ma2)、M a 3=(M a 3x,M a 3y,0)、M b l =(0,M b l y,M b l.)、Mb2=(Mb2x,0,Mb2)、M b 3=(M b 3x ,M b 3y,0)。则杆A,B,力平衡方程为Faix Fbibix0ai1x一aixF+F+mil0-m;aily=0(23)aiybiyFF一aiaizbizJ一式中0一零矩阵在固定坐标系下对杆A,B,质心取矩，得力矩平衡方程为Maix厂MhTilxFai77aixbixaixM.aiy+Mbiy+TilyFaiy+MLMuJFaizLTilzJLQizJT2F Mi 1x 7bixilxTi2yFbiyMa=0(24)LFiLM.bizJM,=Iinei1+w,l,wil具中Mil=li&i+WilinWil式中Mi杆A,B惯性力矩I.i杆A,B;相对于质心的转动惯量ril、r i 2 点 A;、点B,相对杆质心的位置矢量2.1.2被动杆B,C,受力分析杆B,C.（i=1,2,3)两端均以转动副与驱动杆A,B；和中间平台连接,受到驱动杆的反力F和反力矩-Mu,受到中间平台的约束力Fa=（Fa i a，Fc i y，Fca）和约束力矩Me（支链1、2、3分别记为M。=(0,Mely,Mel.)、M 2 =(M 2 x,0,M 2.)、M e 3=(M e 3x,Mc3,0），以及杆件自重mizg，受力如图4所示。MaB,1m28-Mc1图4杆件B,C的受力分析Fig.4Force analysis of rod B,C;则杆BC,力平衡方程为FuFcixbixcix厂07Fu+F+m;20-mi2ai2y=0(25)ciyLFbizF。cizJ-gJa2对杆B,C,质心取矩，得力矩平衡方程M41杆A4B4惯性力矩M杆RC.惯性力钜农2023年机452报业学械其中式中111212-杆B,C,相对于质心的转动惯量ri3、r i 4一点B,点 C,相对于质心的位置矢量2.1.3中间平台受力分析中间平台受力包括3个转动副R;处的反力-Fc和约束反力矩-Mci,以及转动副R,处的约束力F=（Fi u x，Fu y，Fu）和约束力矩M=（M a l x，M.ly,0）,以及自身重力mig,见图5。DMFM2M3c2c3mgMF1图5中间平台受力分析Fig.5Force analysis of middle platform中间平台力平衡方程为(F.ix0厂ai13cix+m0-maily=0FF-g1ai12z(27)由于中间平台仅有移动，只产生惯性力，在定坐标系下对质心的力矩平衡方程为M.x1(rM.i7Tcix Foix一cixcix3cixM.MF=0(28)Vlilyciyciyciyi=i0MTciz-Fciz-ciz-式中r.点C,相对于中间平台质心点D的位置矢量2.2子结构2 运动构件2.2.1驱动杆A4B4受力分析驱动杆A,B,在圆柱副C4i处受力Fa=（Fa z，Fa4y,Fa4a）和约束力矩Ma4=（M a 4x，0,M a 4z）;转动副R42处受约束力Fb4=（Fb 4a，Fr 4y，Fb 4.）和约束力矩Mb4=（0,M 4y，M b 4z），以及自重m41g，如图6 所示。其中,Fa4,为支链驱动力,记为T4。则杆A4B4的力平衡方程为F.厂07厂a.41xF+FFAy+m41-m41a.41y=0(29)LFa4zJF64z-gJa.412MixMT3xFbit7厂7厂cixbixbixM.ciyMu一Ti3yFbiy+MMLTi3:JFcizbizbiz T i4x厂FM,7i2xCiaMaTi4yF。ciy=0(26)LTi4zFcizLMi22-Mz=l28n+W2liaWi2其中式中B-M6441m4igF4MFA04a4图6驱动杆A.B4受力分析Fig.6Force analysis of rod A,B.对杆A4B4质心取矩，得力矩平衡方程为厂M.厂MT41x Fa4x77a4x64xa4x0+0+T41yF。+LM.a4yM.a4zLT41:JFa4zJT42xM417741xT42XFuMA=0(30)LT42:JLLM.l.JMA=41841+W4 4rW41141一杆AB4相对于质心的转动惯量41、r42一点A4、点B4相对质心位置矢量2.2.2被动杆B4C4受力分析被动杆B4C4在虎克铰U43处受动平台的约束力F,z=（F2 x,F2 y,Fz 2.）和约束力矩Mz=（M 2 x,0,0),在转动副R42处受反力-F4和约束反力矩-Mb4，以及杆件自重m42g，如图7 所示。MF12LAm428MA64图7连杆B.C4的受力分析Fig.7Force analysis of rod B,C4则杆B,C4的力平衡方程为Fa:1厂0 42FayF+m420-42a.42y=0(31)一b4yLF,12zFT64z-gJLa422-对杆B4C4质心取矩，得力矩平衡方程T43xFb 4x72x64x64x00T43yF一+LMM.b4y0LT43z-LF642T442xM A42xT44yFM2=0(32)FMA2T44z-7一122M422-T其中M42=42842+W42 l42 042式中M42杆B.C.惯性力矩453朱小蓉等：3T1R解耦并联机构动耦合特性分析第9 期杆B4C4相对于质心的转动惯量43r44一点B4、点C4相对质心位置矢量2.3动平台受力分析动平台两侧分别通过R,和U43与支链相连，受力如图8 所示，包括转动副约束反力F和约束反力矩-M,;约束反力-F,和约束反力矩-M2，外力F。=（Fe x,Fe y,F）、外力矩M。=（M e x,M e y,M e）;以及自身重力mg。MDF1MZM2m12图8动平台受力分析Fig.8Force analysis of moving platform则动平台力/力矩平衡方程为F.exF.0aXFFFa+m0-ma=0eytlyYFF,F，12z一8(33)M.M,F,2一tlxC4ex12xt2xMM.0Tc4yFey2yM.0F0L Tc4:JF2:TDFM.7tlxTDyF，tlyM,=0(34)M.LTDzL其中M=Is+wlw其中式中M-一动平台惯性力矩一一一动平台相对于质心的转动惯量rprc4一点D和点C4相对质心位置矢量2.4并联机构动力学方程联立式（2 3）（34），共6 0 个方程,6 0 个未知量，方程可解。通过消元法消除内力/力矩，可得到机构驱动力的显式表达式，并记驱动力为T=TT2T33T4T=FalxFa2yFa3:Fa4,JT3动力学数值算例3.1动力学模型仿真验证为验证所建动力学模型的正确性，采用ADAMS软件对机构进行仿真验证。通过设置环境参数和单位系统并添加相应的运动副约束，虚拟样机模型如图9 所示。机构几何和惯性参数如表1所示。为提高理论建模精度，杆件质心、质量和惯量均由仿真模型获112图9ADAMS仿真模型Fig.9ADAMSsimulationmodel表1机构的几何和物理参数Tab.1Geometrical and inertial parameters参数数值lu/mm170l12/mm225121/mm23712/mm208l31/mm223132/mm179l41/mm166142/mm223T/mm40h/mm20l/mm67L/mm400/rad5元/32/radT3/radT/3m/g81ml/g106m/g132m12/g200m21/g186m22/g183m31/g175m32/g145m41/g129m42/g195/(gmm)diag21551,25 092,44108l/(gmm)diag33 760,26 059,12 493 ln/(gmm)diag620835,9284,618 116li2/(gmm)diag266 183,9 033,267 136l2/(gmm)diag9843,750119,747244l2/(gmm)diag11360,480121,478923 l,/(gmm)diag7027,259 330,261 420 lg2/(gmm)diag12 439,630 318,631628l4/(gmm)diag6 868,240 582,242 628142/(gmm)diag11910,685 402,684 143得；中间平台和杆件采用碳纤维，驱动系统采用1FL6024-2AF型直流伺服电机和16 0 5型滚珠丝杆。假设外负载为0,动平台姿态角不变=0,初农2023年机454报业学械始运动条件下动平台质心坐标为（o，y o，z o），给定动平台运动轨迹为,x=%o+10sin(2t)y=yo+10cos(2t)(35)lz=Zo+10sin(2t)将表1中参数值代人动力学方程，利用Matlab计算各支链驱动力，计算结果与ADAMS仿真软件按同样轨迹仿真运动的结果进行对比，结果如图10 所示。由图10 c可知，理论值与仿真值基本吻合，4条驱动力曲线的最大相对误差分别为5.49%、2.51%、8.2 6%、0.35%，验证了动力学模型正确性。88e-4t,-AT0.04卜660.028-T244-T3T一T22-0.02-0.04012301230123时间/s时间/s时间/s(a)Matlab(b)ADAMS(c）两种方法差值图10驱动力计算结果Fig.10Driving forces of limbs3.2加速度对驱动力的影响对高速并联机构，主要承受来自高速运动产生的惯性力，因此下面分析当动平台最大加速度为3、7、11m/s 时机构驱动力的变化,并假设外负载为0，动平台姿态角不变=0,沿平行于坐标轴方向和空间直线运动（4条轨迹如图11所示），均采用五次多项式进行路径规划，且初始位置的速度、加速度为0，驱动力计算结果如图12 所示，每条支链驱动力最大值见表2。(260,280,260)300r轨迹4轨迹3250Fwu/z200一轨迹2150轨迹1300(140,160,180)250300y/mm200250200150150 x/mm图11不同运动轨迹Fig.11Different trajectories由于机构沿、y、z 轴的运动分别由支链1、2、3的驱动控制,因此当动平台平行于x、y、z 轴运动时，支链1、2、3分别定义为驱动支链，其余支链定义为相应的锁定支链。由图12 和表2 可得出：（1）无论沿哪个方向运动，驱动力随动平台加速度的增加而增加。特别是平行于坐标轴方向运动时，驱动支链的驱动力对加速度呈线性增加，但锁定支链的驱动力增加幅度较小。（2）无论平面运动还是空间运动，支链3的驱动值都较大。沿x、y 轴运动时，支链3的驱动力接近甚至超过驱动支链的驱动力，特别是低加速度时更为明显，因此机构结构设计时支链3是关键。（3）动平台做定姿态运动时，支链4仅与y轴方向的运动有关，当动平台沿x、z 轴运动时，支链4的驱动力接近0。（4)支链间驱动力存在耦合。相同的加速度条件下，空间运动时的驱动力大于单轴运动时的驱动力，且加速度越大，差值越明显，这也证明了惯量对机构动力学性能有较大影响。3.3动平台姿态角对驱动力的影响为研究姿态角对机构驱动力的影响，假设动平台中心点D按图11中轨迹4运动，姿态角分别保持为$=6 0、30 0 时，计算支链的驱动力，结果如图13所示。由图13可得：当运动轨迹相同时，动平台姿态角的变化对驱动力TI、T 3没有影响，对T2、T 4有影响，且影响规律相同。当姿态角为-60时，所需驱动力最小，可以将此姿态设置为机构的初始姿态。4动力学耦合特性分析并联机构笛卡尔空间逆动力学模型可表示为T=MxX+H(X,X)+F(36)式中T主动关节的驱动力Mx机构广义坐标下的惯性矩阵H(X,X)一一重力、科氏力和离心力F一一外力对高加减速机构而言，与加速度有关的项Mx将起主导作用。对（3CRR/R）&CR U 并联机构而455朱小蓉等：3T1R解耦并联机构动力耦合特性分析第9 期101.0r10a=11 m/s2-a=11 m/s21.0-a=11 m/s2-a=1l m/s25-e-=7 m/s2-oa=7 m/s2-oa=7 m/s2-o-a=7 m/s2-a=3 m/s20.5a=3 m/s20.5a=3m/s2/-a=3 m/s200-0.5-10E-10-1.00.050.150.250.050.150.250.050.150.250.050.150.25时间/s时间/s时间/s时间/sa=11 m/s21x18.0e-a=7 m/s247.7-a=11 m/s2-a=11 m/s2-a=11 m/s2-a=3 m/s3-o-=7 m/s2-o-=7 m/s22-=7 m/s27.6-a=3 m/s27.8-a=3 m/s2a=3 m/s207.57.6-27.4E-1x10-57.4-40.050.150.250.050.150.250.050.150.250.050.150.25时间/s时间/s时间/s时间/s（a）动平台沿x方向运动（b）动平台沿y方向运动a=1l m/s21.510-o-a=7 m/s210卜-a=11 m/s2-a=11 m/s21.0-a=3 m/s2/05-a=7 m/s2-a=7 m/s20.5=3 m/s2-a=3 m/s2-0.500-a=11 m/s2-5-0.5-1.0=7 m/s2a=3 m/s2-10-1.0-1.5-10L0.050.150.250.050.150.250.050.150.250.050.150.25时间/s时间/s时间/时间/s15154-a=11 m/s21x10-a=11 m/s2-a=11 m/s2-a=11 m/s2-e-=7 m/s2-=7 m/s2-a=7 m/s22-o-a=7 m/s210-a=3 m/s2-=3 m/s210-a=3 m/s2-a=3 m/s2 55一2-1x10-50-40.050.150.250.050.150.250.050.150.250.050.150.25时间/s时间/s时间/s时间/s（c）动平台沿方向运动（d）动平台沿空间对角线运动图12加速度对驱动力的影响Fig.12Effects of acceleration on driving force表2不同加速度时的驱动力Tab.2Driving force at different accelerationsN加速度/方向方向2方向空间对角线(ms*2)T13.80.630.653.81T20.33.270.083.323T37.67.659.769.85T44.2 10 61.162.3 10 61.16T16.860.180.137.30T20.496.590.566.817T37.637.7512.2212.37T45.8 10-62.496.9 10-62.49T110.381.081.1512.12T20.8310.251.2910.6811T37.747.9315.2515.12T48.6 10-63.989.8 10-63.98言，广义坐标下的惯性矩阵为4Mx=M+M,+(M;1+M,2)(37)式中M-动平台在广义坐标下的惯性矩阵M,中间平台广义坐标下的惯性矩阵M,驱动杆在广义坐标下的惯性矩阵其中10F-6020-60-308-3005-0-0+3030000-60-60-5-10-200.050.150.250.050.150.25时间/s时间/s-601510F-60-0-30-300-005-0-3010300-6060035-50-100.050.150.250.050.150.25时间/s时间/s图13姿态角$对驱动力的影响Fig.13Effect of on driving forceMi2被动杆在广义坐标下的惯性矩阵为研究并联机构主动支链间的动力学耦合特性,需要建立其关节空间的驱动力模型。由于机构动能既能在关节空间下表示，又能在广义坐标下表示，则有1XMx1M.T(38)22X=J(39)0.860.400.600.70降耦前0.640.240.260.22降耦后DCI4DCI3DCI,DCI,机构Tab.3MaximumDCI表3机构DCI的最大值点向量的反对称矩阵m-构件质量农4562023年机报业学械将式（39）代人式（38），可得到笛卡尔坐标下的惯量矩阵Mx与关节空间的惯量矩阵M.之间的关系为2 2 M,=(J-1)TMx(J-1)(40)根据文献14，可计算出机构每个构件j在定坐标系下的广义惯量矩阵为RMRiT-mc?miM,=(41)mcTmll式中R一一构件i局部坐标系相对于定坐标系的旋转变换矩阵I一单位矩阵M一一构件j局部坐标下的惯性矩阵C构件i局部坐标原点相对定坐标系原机构关节空间的惯性矩阵M第i行除对角元素外的其他元素Mi（ik）为第i支链对其余支链的耦合惯量，会产生耦合力矩从而影响支链的动态性能。基于此,文献2 5 提出了并联机构支链间的动力学耦合强度指标DCI，计算式为1DCI;=18D;(42)emI M,(i,k)I其中k=1,k+iI M,(i,i)I式中,8 p;为耦合强度系数,是惯性矩阵M。的非对角项相对对角项的占比，值越小表明机构受到的耦合力矩越小。耦合强度指标DCI,是对D;的进一步处理,使其在0，1 范围内变化。该值越接近1,动力学耦合越严重，反之，动力学耦合强度越小。由式（42）可知,DCI,为机构位姿的函数。将表1所示参数依次代人式（41）、（37）、（40）、（42），可得第i条支链的耦合强度指标DCI,在工作空间的变化规律。为便于性能比较,采用同样的方法,对结构降耦前的Quadrupteron机构 的耦合强度指标进行计算。图14、15分别为两个机构的DCI在工作空间内的分布,DCI最大值见表3。由图14、15以及表3可知：（1）对所有支链而言，（3CRR/R）&CR U 降耦机构的耦合强度明显低于降耦之前的Quadrupteron机构。DCI的最大值从0.7 降到0.2 2,DCI,最大值从0.6降到0.2 6,DCI,的最大值从0.4降到0.2 4,DCI4的最大值从0.8 6 降到0.6 4。(2)运动学解耦可降低机构惯量耦合强度。由文献2 6 可知，降耦前机构仅z向输出完全解耦,其3000.203000.25250uu/z2502000.15号2 0 00.201501503003000.152503000.10250200y/mmylmm200015015020025030200250300150150 x/mmx/mm(a)DCI,(b)DCL,0.200.64353003000.180.64302500.162500.64252000.142000.64201500.121500.64153002500.103002500.6410y/mm2000.08y/mm2000.6405150150200250300 x/mm150150200250300 x/mm(c)DCL,(d)DCI)图14降耦后机构（3CRR/R）&CR U 的DCIFig.14DCI of(3CRR/R)&CRU0.553000.653002500.602500.50uu/22000.55200150250200/1500.451500.50300y/mm200.2503000.45y/mm2502000.40150150150150200250300 x/mmx/mm(a)DCI,(b)DCI,0.350.843003000.300.820.80S2000.250.78150150025021500.203002503000.76y/mm20015015022002503000.15y/mm200150150200.25010.74x/mmx/mm(c)DCI,(d)DCI图15降耦前机构Quadrupteron的DCIFig.15DCIofQuadrupteron余输出为部分解耦,因此机构DCI,明显低于DCI,、D CI,和DCI4。而降耦后机构的3个移动输出完全解耦,转动部分解耦,输出与支链2、4的驱动