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高二数学滚动练习1 3.22
1．命题“"x∈N，x2≠x”的否定是 ．
2．在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是 ．
3．已知a，b∈R，a＋bi＝(1＋2i)(1－i) (i为虚数单位)，则a＋b的值为 ．
4．记函数f(x)＝的导函数为f ¢(x)，则 f ¢(1)的值为 ．
5．已知实数x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为 ．
6．记命题p为“若a＝b，则cosa＝cosb”，则在命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为 ．
8

9．已知函数f(x)＝ex－ax在区间(0，1)上有极值，则实数a的取值范围是 ．
10．“a＝1”是“函数f(x)＝x＋acosx在区间(0，)上为增函数”的 条件（在“充要”、“充分不必要”必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．
11．已知圆柱的体积为16p cm3，则底面半径r＝ cm时，圆柱的表面积最小．
（第13题图）
O
x
y
12．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x－y－1＝0，x－y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B，C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝ ．

13．定义在R上的函数y＝f(x)的图像经过坐标原点O，且它的导函数y＝f ¢(x)
的图像是如图所示的一条直线，则y＝f(x)的图像一定不经过第 象限．

14．若等差数列的公差为，前项的和为，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列的公比为，前项的积为，则数列 为等比数列，公比为______________．
二、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知m∈R，设p：复数z1＝(m－1)＋(m＋3)i (i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，q：复数z2＝1＋(m－2)i的模不超过．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；
（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．

16．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．

17.设a,b,c 求证 (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于

18．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4．
（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；
（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．

19．已知函数f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋4lnx，其中a≥0．
（1）若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）讨论函数f(x)的单调性．

20．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B(－2，0)，C(2，0)，直线AB，AC的斜率乘积为－，设顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，试求的取值范围．

数学参考答案 2014.03
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．$x∈N，x2＝x 2．y2＝20x 3．4 4．－1 5．6
6．2 7． 8． 9．(1，e) 10．充分不必要．
11．2 12．8 13．1 14．
二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解（1）因为复数z1＝(m－1)＋(m＋3)i在复平面内对应的点在第二象限，
所以
解得－3＜m＜1，即m的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分
（2）由q为真命题，即复数z2＝1＋(m－2)i的模不超过，
所以≤，解得－1≤m≤5． ……………… 5分
由命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题
得或 所以或
即－3＜m＜－1或1≤m≤5．
所以m的取值范围为(－3，－1)∪[1，5]． ……………… 8分
16．解 （1）曲线与y轴的交点是(0，－3)．令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．
即曲线与x轴的交点是(－1，0)，(3，0)． ……………… 2分
设所求圆C的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得D＝－2，E＝2，F＝－3．
所以圆C的方程是x2＋y2－2x＋2y-3＝0． ……………… 5分
（2）圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝()2，
所以圆心C(1，－1)，半径r＝． ……………… 7分
圆心C到直线x＋y＋a＝0的距离d＝＝． 由于d2＋(AB)2＝r2，
所以()2＋12＝()2，解得a＝±2 ． ……………… 10分
18．解 （1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 (万件)．
因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4(x－2)2](x－1)
＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)． ……………… 4分
（2）由（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2， 从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．
令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：
x
(1，)

(，)

(，2)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
……………… 7分
又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．
而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，
所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．
……………… 10分
19．解（1）当a＝0时，f(x)＝－2x＋4lnx，
从而f ′(x)＝－2＋，其中x＞0． ……………… 2分
所以f ′(1)＝2．
又切点为(1，－2)，
所以所求切线方程为y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0． ……………… 4分
（2）因为f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋4lnx，
所以f ′(x)＝2ax－(4a＋2)＋＝＝，其中x＞0．

①当a＝0时，f ′(x)＝－，x＞0．
由f ′(x)＞0得，0＜x＜2，所以函数f(x)的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；
……………… 6分
②当0＜a＜时，因为＞2，由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞．
所以函数f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)；单调减区间为(2，)；
……………… 8分
③当a＝时，f ′(x)＝≥0，且仅在x＝2时，f ′(x)＝0，
所以函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；
④当a＞时，因0＜＜2，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞2，
所以函数f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)；单调减区间为(，2)．
综上，
当a＝0时，f(x)的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)；
当0＜a＜时，f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)，减区间为(2，)；
当a＝时，f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；
当a＞时，f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)，减区间为(，2)．
……………… 10分
20．解（1）设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝， ………… 2分
因为kAB×kAC＝－，所以× ＝－， 即＋y2＝1．（或x2＋4y2＝4）.
所以曲线E的方程为 ＋y2＝1（x≠±2) ． ……………… 4分
（2）曲线E与y轴负半轴的交点为D(0，－1)．
因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx－1， 代入＋y2＝1，得M(，)，
从而DM＝＝． ……………… 6分
用－代k得DN＝．
所以△DMN的面积S＝×´
＝． ……………… 8分
则＝ ，
因为k≠0且k≠±，k≠±2，令1＋k2＝t，
则t＞1，且t≠，t≠5，
从而＝＝＝，
因为4t－＞－5，，且4t－≠－，4t－≠．
所以9＋4t－＞4且9＋4t－≠，9＋4t－≠，
从而 ＜8且≠，≠，
即 ∈(0，)∪(，)∪(，8)． ……………… 10分

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