宿州市2014-2015学年度第二学期期中考试数学试卷理科.doc

宿州市十三所重点中学2014—2015学年度第二学期期中质量检测
高二年级数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简 =（ ）
A、1-2i B、1+2i C、2+i D、2-i
2．下列求导运算正确的是（ ）
A、(x+ )′=1+ B、(log2x)′=
C、′= D、(x2cosx)′=-2xsinx
3．用反证法证明“自然数a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是 ( ）.
A、假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 B、假设a，b，c都是偶数
C、假设a，b，c至少有两个偶数 D、假设a，b，c都是奇数
4．若y=f(x)在定义域上的每一点x处都有导数，则函数f(x)在x=x0处有极值是f'(x0)=0的（ ）条件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分又不必要
5．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是 （　）
A. B. C . D.
6．设，那么等于(　 　)
A. B. C. D.
7．已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如下，则（ ）
A、函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B、函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C、函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D、函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点

8．如右图一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户的面积为S，为使窗户的周长最小，用料最省，
圆的半径应为（ ）
A B C D 2

9.等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26 B．29 C．212 D．215
10．f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是 (　　)
A．f(a)ea f(0)
C．f(a)< D．f(a)>
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案写在题中的横线上。
11.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数，则实数m=

12．观察下列不等式

……
照此规律，第五个不等式为 .
13．

14．.曲线f(x)＝ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3＝0的最短距离是_____

15．设表示不超过的最大整数，如，．给出下列命题：
①对任意实数，都有；
②对任意实数、，都有；
③；
④若函数，当时，令的值域为A，记集合A的元素个数为，则的最小值为．
其中所有真命题的序号是_________________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题满分12分）已知函数f(x)=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，
（1）求a,b,c的值；
（2）求f(x)在区间［－3，3］上的最大值和最小值.

17. （本题满分12分）如图，设是抛物线 上的一点．
(1)求该抛物线在点处的切线的方程；
(2)求曲线、直线和轴所围成的图形的面积.

18．（本题满分12分）是否存在常数，使等式 对于一切都成立?若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明.

19．（本题满分12分）（1）求证：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)。
（2）求函数（）的最小值及取最小值时的x值.

20．（本题满分13分）已知函数f(x)=ax-1-lnx ．
（1）当时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数在 x=1处取得极值，对,恒成立，求实数b 的取值范围.

21．（本题满分14分）．已知函数。
（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围.

密 封 线
学校 班级 姓名 学号 座位号
宿州市十三所重点中学2014—2015学年度第二学期期中质量检测
高二年级数学（理科）答题卷
命题：宿州三中 校对：宿州三中
题 号
一
二
三
总分
得 分

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、 12、 13、

14、 15、
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本题满分12分）

17. （本题满分12分）

18．（本题满分12分）

19．（本题满分12分）

20．（本题满分13分）

21．（本题满分14分）

宿州市十三所重点中学2014—2015学年度第二学期期中质量检测
高二年级数学（理科）参考答案
一、选择题
1——5ABDAA 6---10DACCB
二、填空题
11、m=-1, 12、 13、5-e2
14、 15、①④
三、解答题
16、（1）f'(x),由条件知
f'2)=12a-4b-2=0
f'(1)=3a+2b-2=0
f(-2)=-8a+4b+4+c=6
解得……………………….6分
（2）f'(x)=
令f'(x)=0得列出下表
x
-3
(-3,2)
-2
(-2,1)
1
(1,3)
3
f'(x)

+
0
__
0
+

f(x)

6

由上表知，在区间[-3,3]上，当x=3时，fmax(x)=,x=1时，fmin(x)=………….12分

17、解：
（Ⅰ）：
直线L的斜率
： 即为所求．…………….. 6分
（Ⅱ）：法一：切线与轴的交点为，则面积
………………………………….12分
法二：

曲线C、直线和轴所围成的图形的面为．
18.解：若存在常数使等式成立，则将代入上式，有
得，即有
对于一切成立………4分
证明如下：
(1)当时，左边=，右边=，所以等式成立
(2)假设时等式成立，即

当时，
=
==
==
也就是说，当时，等式成立，
综上所述，可知等式对任何都成立。 …………12分
存在a=1,b=4使得等式对任何都成立。

19．

当且仅当
因为x、y 为正数
所以………………………………….6分
（其他证明方法酌情赋分）

当且仅当
所以……………………………….12分
20、（1）解：由题意知函数f(x)的定义域为（0，+∞）

由得0
∴在上递减，在上递增………………………………6分
（2）∵函数在处取得极值，∴f'(1)=0
则，
因为x>0,所以，
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即……………………………………….13分

21.解
（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为． ………………………………6分
(2）命题“若使成立”等价于
“当时，有”．
由（1），当时，，．
问题等价于：“当时，有”． ………………………………8分
当时，由（1），在上为减函数，
则=，故．
当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即．
(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，=，不合题意． ……………………10分
(ii)若，即，由的单调性和值域知，
唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以，=，．
所以，，与矛盾，不合题意．
综上，得． 密 封 线 内 不 准 答 题