备战2019中考初中数学专题复习八讲：备战2019中考初中数学专题复习：专题7动点问题探究一.docx

专题7　动点问题探究一
【专题解析】
动点问题研究的是在几何图形的运动中，一些图形位置、数量关系的“变”与“不变”的问题.常用的数学思想是方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法、数形结合法等.
解答动点问题的题目要学会“动中找静”，即把动点问题变为静态问题来解决，寻找动点问题中的特殊情况.
(1)等腰三角形的存在性问题
如果问题中△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况.已知腰长，画等腰三角形用圆规画圆；已知底边，用刻度尺、圆规画垂直平分线.解等腰三角形的存在性问题，有几何法与代数法，把几何法与代数法相结合，可以使得解题又快又好.
几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长、分类列方程、解方程并检验.
(2)直角三角形的存在性问题
解决直角三角形的存在性问题，一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根.
一般情况下，按照直角三角形直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或三角函数列方程；在平面直角坐标系中，常常利用两点间的距离公式列方程；有时候根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简捷.
(3)平行四边形的存在性问题
解决平行四边形的存在性问题一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.
难点在于寻找分类标准.寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快.
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交产生三个顶点；如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或角分为两种情况.
灵活应用中心对称的性质，可以使得解题简便.
【专题剖析】
类型一：等腰三角形的存在性问题
【例题】（2018重庆）（12.00分）抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；
（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；
（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）分别表示C和D的坐标，利用勾股定理可得CD的长；
（2）令y=0，可求得A（﹣3，0），B（，0），利用待定系数法可计算直线AC的解析式为：y=，设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），表示PE的长，利用勾股定理计算AC的长，发现∠CAO=30°，得AE=2EF=，计算PE+EC，利用配方法可得当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），确定要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），可得结论；
（3）先确定对折后O2C落在AC上，△AMN是以MN为腰的等腰三角形存在四种情况：
①如图4，AN=MN，证明△C1EC≌△B2O2M，可计算O2M的长；
②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=；
③如图6，AM=MN，N和H、C1重合，可得结论；
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E证明四边形C1EO2B2是矩形，根据O2M=EO2+EM可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，
当x=0时，y=，
∴C（0，），
y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+，
∴D（﹣，），
∴DK=，CK=﹣=，
∴CD===；（4分）
（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+0，
解得：x1=﹣3，x2=，
∴A（﹣3，0），B（，0），
∵C（0，），
易得直线AC的解析式为：y=，
设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），
∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，
Rt△ACO中，AO=3，OC=，
∴AC=2，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF=，
∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），
=﹣﹣x+[2﹣（）]，
=﹣﹣x﹣x，
=﹣（x+2）2+，（5分）
∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分）
∴PC=2，
∵O1B1=OB=，
∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，
再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，
∴B1（﹣，0），
将B1向左平移个单位长度即得点O1，
此时PO1+B1C=P2C==，
对应的点O1的坐标为（﹣，0），（7分）
∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3；（8分）
（3）O2M的长度为或或2+或2．（12分）
理由是：如图3，∵H是AB的中点，
∴OH=，
∵OC=，
∴CH=BC=2，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2（﹣2，），
①如图4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
过C1作C1E⊥B2C于E，
∵B2C=B2C1=2，
∴=B2O2，B2E=，
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，
∠B2O2M=∠C1EC=90°，
∴△C1EC≌△B2O2M，

∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣；
②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=，
③如图6，AM=MN，
∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M=AO2=；
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E，
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四边形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2，，
∴EM=，
∴O2M=EO2+EM=2+，
综上所述，O2M的长是或或2+或2．

【方法总结】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．
类型二：直角三角形的存在性问题
【例题】（2018山东烟台）（14分）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；
（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．
【解答】解：（1把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=，
∵过点B的直线y=kx+，
∴代入（1，0），得：k=﹣，
∴BD解析式为y=﹣；

（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，
当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴=，即=，
解得t=，

当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得=，
即=，
解得：t=；
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，
∴=，即=，
解得：t=，
∴t的值为、、．

（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M

过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a，﹣），
∴=，即=，
解得：a=﹣2，
则N点坐标为（﹣2，﹣2），
求得直线ND′的解析式为y=x+1，
当x=﹣时，y=﹣，
∴M点坐标为（﹣，﹣），
此时，DM+MN的值最小为==2．
【方法总结】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．
类型三：平行四边形的存在性问题
【例题】（2018年山东省威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；
（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法问题可解；
（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；
（3）由题意画示意图可以发现由两种可能性，确定方案后利用锐角三角函数定义构造方程，求出半径及点P坐标；
（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的性质，同一对角线上的两个端点到另一对角线距离相等．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0）
∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）
把C（0，4）带入得
4=a（0+4）（0﹣2）
∴a=﹣
∴抛物线表达式为：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1
∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D
∴点D在对称轴上
设点D坐标为（﹣1，m）
过点C做CG⊥l于G，连DC，DB[来
∴DC=DB

在Rt△DCG和Rt△DBH中
∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2
∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2
解得：m=1
∴点D坐标为（﹣1，1）
（3）∵点B坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）
∴BC=
∵EF为BC中垂线
∴BE=
在Rt△BEF和Rt△BOC中，
cos∠CBF=
∴
∴BF=5，EF=，OF=3
设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切
如图：

①当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°
∴四边形P1Q1ER1是正方形
∴ER1=P1Q1=r1
在Rt△BEF和Rt△FR1P1中
tan∠1=
∴
∴r1=
∵sin∠1=
∴FP1=，OP1=
∴点P1坐标为（，0）
②同理，当圆心P2在直线BC右侧时，
可求r2=，OP2=7
∴P2坐标为（7，0）
∴点P坐标为（，0）或（7，0）
（4）存在
当点P坐标为（，0）时，
①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP
当x=时，y=﹣
∴DN=MP=
∴点N坐标为（﹣1，）
②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等
则点M横坐标为﹣
则M纵坐标为﹣
由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离
当点N在D点上方时，点N纵坐标为
此时点N坐标为（﹣1，）
当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣）
当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在．
故答案为：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）
【方法总结】本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想．
【真题训练】
1. （2018山东枣庄）（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

2.（2018泸州）如图11，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

3.（2018内蒙古通辽）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．

4.（2018内江）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；
（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．

【参考答案】
1. （2018山东枣庄）（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．
（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣x2+x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）如图，
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO
∴=，
∵MN∥AC
∴=，
∴=，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD=（n+2），
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BN•OA﹣BN•MD
=（n+2）×4﹣×（n+2）2
=﹣（n﹣3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）．
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．
2.（2018泸州）如图11，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

【分析】（1）把点A坐标代入y=ax2﹣（2a﹣）x+3可求a，应用待定系数法可求直线AB的解析式；
（2）用m表示DE、AC，易证△DEF∽△AEC，S1=4S2，得到DE与AE的数量关系可以构造方程；
（3）用n表示GH，由平行四边形性质DE=GH，可得m，n之间数量关系，利用相似用GM表示EG，表示▱DEGH周长，利用函数性质求出周长最大时的m值，可得n值，进而求G点坐标．
【解答】解：（1）把点A（4，0）代入，得
0=a•42﹣（2a﹣）×4+3
解得
a=﹣
∴函数解析式为：y=
设直线AB解析式为y=kx+b
把A（4，0），B（0，3）代入

解得
∴直线AB解析式为：y=﹣
（2）由已知，
点D坐标为（m，﹣）
点E坐标为（m，﹣）
∴AC=4﹣m
DE=（﹣）﹣（﹣）=﹣
∵BC∥y轴
∴
∴AE=
∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA
∴△DEF∽△AEC
∵S1=4S2
∴AE=2DE
∴
解得m1=，m2=4（舍去）
故m值为
（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M

由（2）DE=﹣
同理HG=﹣
∵四边形DEGH是平行四边形
∴﹣=﹣
整理得：（n﹣m）[]=0
∵m≠n
∴m+n=4，即n=4﹣m
∴MG=n﹣m=4﹣2m
由已知△EMG∽△BOA
∴
∴EG=
∴▱DEGH周长L=2[﹣+]=﹣
∵a=﹣＜0
∴m=﹣时，L最大．
∴n=4﹣=
∴G点坐标为（，），此时点E坐标为（，）
当点G、E位置对调时，依然满足条件
∴点G坐标为（，）或（，）
【点评】本题以二次函数图象为背景，综合考查三角形相似、平行四边形性质、二次函数最值讨论以转化的数学思想．
3.（2018内蒙古通辽）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．

【分析】（1）应用待定系数法；
（2）①求出直线BC解析式，表示PF．当PF=DE时，平行四边形存在．
②利用△PFH∽△BCO，应用相似三角形性质表示△PFH周长，应用函数性质讨论最值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5

解得

∴y=x2﹣4x﹣5
∴顶点坐标为D（2，﹣9）
（2）①存在
设直线BC的函数解析式为y=kx+b（k≠0）
把B（5，0），C（0，﹣5）代入得

∴BC解析式为y=x﹣5
当x=m时，y=m﹣5
∴P（m，m﹣5）
当x=2时，y=2﹣5=﹣3
∴E（2．﹣3）
∵PF∥DE∥y轴
∴点F的横坐标为m
当x=m时，y=m2﹣4m﹣5
∴F（m，m2﹣4m﹣5）
∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m
∵E（2，﹣3），D（2，﹣9）
∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6
如图，连接DF
∵PF∥DE
∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形
即﹣m2+5m=6
解得m1=3，m2=2（舍去）
当m=3时，y=3﹣5=2
此时P（3，﹣2）
∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形．
②由题意
在Rt△BOC中，OB=OC=5
∴BC=5
∴C△BOC=10+5
∵PF∥DE∥y轴
∴∠FPE=∠DEC=∠OCB
∵FH⊥BC
∴∠FHP=∠BOC=90°
∴△PFH∽△BCO
∴
即C△PFH=
∵0＜m＜5
∴当m=﹣时，△PFH周长的最大值为
4.（2018内江）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；
（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；
（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y=kx+1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，
∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，
∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，
如图，
设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，
∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），
∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，
∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键．