2017年高考全国卷3.doc

一、选择题
1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
A． B． C． D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为
A．-80 B．-40 C．40 D．80
5．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，
则输入的正整数N的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B． C． D．
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A．-24 B．-3 C．3 D．8
10．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
11．已知函数有唯一零点，则a=
A． B． C． D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2

二、填空题
13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．
14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
15．设函数则满足的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所称角的最小值为45°；
④直线AB与a所称角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

三、解答题
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成
体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

20．（12分）
已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）
已知函数 =x﹣1﹣alnx．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．

22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

23．[选修45：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．

参考答案
1．B
【解析】由题意可得：圆 与直线 相交于两点 ， ，则中有两个元素.
本题选择B选项.

2．C
【解析】由题意可得： .
本题选择C选项.

3．A
【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；
本题选择A选项.

4．C
【解析】由 展开式的通项公式： 可得：
当 时， 展开式中 的系数为
当 时， 展开式中 的系数为 ，
则 的系数为 .
本题选择C选项.

5．B
解析】由题意可得： ，又 ，解得 ，
则 的方程为 .
本题选择B选项.

6．D
【解析】当 时， ，函数在该区间内不单调.
本题选择D选项.

7．D
【解析】若,第一次进入循环，成立，，成立，第二次进入循环，此时，不成立，所以输出成立，所以输入的正整数的最小值是2，故选D.
8．B
【解析】【解析】如果，画出圆柱的轴截面

，所以，那么圆柱的体积是，故选B.

9．A
【解析】】设等差数列的公差为，，，，所以，，故选A.

10．A
【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A.

11．C
【解析】【解析】，设，，当时，，当时，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设 ，当时，函数取得最小值-1，若，函数，和没有交点，当时，时，此时函数和有一个交点，即，故选C.

12．A
【解析】如图，建立平面直角坐标系

设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.

13．-1
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点 处取得最小值 .

14．-8
【解析】由题意可得： ，解得： ，则

15．
【解析】由题意： ，函数 在区间 三段区间内均单调递增，且： ，
据此x的取值范围是： .

16．②③
【解析】由题意， 是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由 ，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作 ，交底面圆 于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD， ，连结AD，等腰△ABD中， ,当直线AB与a成60°角时， ，故 ，又在 中， ，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知 ,
为等边三角形， ，即AB与b成60°角，②正确，①错误.
由最小角定理可知③正确；
很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线 与 所成的最大角为90°，④错误.
正确的说法为②③.

17．
（1）
（2）

【解析】
（1）由已知得 tanA=
在 △ABC中，由余弦定理得

（2）有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为

18．
（1）的分布列为

（2）当为瓶时，的数学期望达到最大值。
【解析】
（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知

.
因此的分布列为

0.2
0.4
0.4

⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n
当时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19．
（1）见解析
（2）二面角的余弦值为.
【解析】
（1）由题设可得，
又是直角三角形，所以
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于
所以

（2）

由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故

设是平面DAE的法向量，则
可取
设是平面AEC的法向量，则同理可得
则
所以二面角D-AE-C的余弦值为

20．
（1）证明：①当轴时，代入得
在以为直径的圆上.此时圆半径为.
②当不垂直于轴时，设的方程为且，
由消去整理
,，
从而，在以为直径的圆上.
（2）由（1）知以为直径的圆学&科网的方程为
即，
由于在此圆上，
代入上述方程得，故所求圆的方程为.
【解析】
（1）设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
（2）由（1）可得
故圆心M的坐标为，圆M的半径
由于圆M过点P（4，-2），因此,故
即
由（1）可得，
所以，解得
当m=1时，直线l的方程为x-y-20，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为
当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为

21．
（1）见解析
（2）
【解析】
（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.
故a=1
（2）由（1）知当时，
令得，从而

故
而，所以m的最小值为3.

22．
（1）C的普通方程为.
（2）与C的交点M的极径为.
【解析】（1）消去参数t得l1的普通方程；消去参数m得l2的普通方程
设P（x,y）,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为
（2）C的极坐标方程为
联立得.
故，从而
代入得，所以交点M的极径为.

23．
（1）的解集为 .
（2）的取值范围为 .
【解析】
（1）
当时，无解；
当时，由得，，解得
当时，由解得.
所以的解集为.
（2）由得，而

且当时，.
故m的取值范围为