三角复习一20141110.doc

高三数学期中理科复习迎考练习－三角函数（１）
一、填空题
1．函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为___________.
2．若，则=____________________
3．已知，函数为奇函数，则a＝_____________
4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点向_______平移________个单位.
5．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　
6．函数的单调递增区间是_______________
7．若，.则　　
8．函数是常数，的部　　　　分图象如图所示，则　　　　
9．定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P，过点P作PP1⊥轴于点P1，直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的长为　　　　。
10．设为锐角，若，则的值为 ．
11．在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=　　　　_________。
12．已知 则的值为　　　　
13．矩形中，轴，且矩形恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形周长的最小值为 _______
14．三角形的内角满足,则的最小值是________.

二、解答题
B
A
x
y
O
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．
（1）求的值； （2）求的值．

16．设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：∥..

17．在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；（2）若，求的值.

18、在中，已知．
（1）求证：；
（2）若求A的值．

19．某园林公司计划在一块为圆心,(为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.
(1) 设,,分别用,表示弓形的面积;
(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?

观赏样板地

花木地

草皮地
草皮地

20、已知△ABC的三边长都是有理数。
（1） 求证是有理数；（2）求证：对任意正整数，cosA是有理数。

答案：1、把函数y=2cos2x+1（x∈R）化为一个角的一次三角函数的形式，求出周期即可：
∵函数y=2cos2x+1=cos2x+2，∴它的最小正周期为：。
2、由可得，即。
由二倍角的余弦公式，得
3、∵,,且函数为奇函数， ∴，即。∴a＝0
4、左、；
5、解三角形，已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理。因此，由正弦定理得，，解得。
6、【分析】利用两角差的正弦公式对函数解析式化简整理，从而根据正弦函数的单调性求得答案：

∵，∴。
∴根据正弦函数的单调性，，即时，函数单调递增。
7、先由两角和与差的公式展开，得到，的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积：
∵，。
∴二式联立，得，。∴。
8、【分析】由函数图象得，∴,,
再结合三角函数图象和性质知，∴。∴。

9、先将求P1P2的长转化为求的值，再由满足=可求出的值，从而得到答案：
由三角函数的图象，运用数形结合思想，知线段P1P2的长即为的值，且其中的满足=，解得=。∴线段P1P2的长为。
10、【解析】根据，，
因为，所以 ，因为.
11、∵，
∴
。
12、【分析】∵，
∴。
∴
13、; 14、
二、解答题
15、【答案】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，
∵为锐角故，∴。
同理可得 。
∴。
∴=。
（2）,

∴由 ，得 。
16、【答案】解：（1）∵与垂直，∴
即，
即。
∴。
（2）∵

∴当时，取最大值，且最大值为。
（3）∵，∴，即
∴，即与共线。
∴∥。

17、【答案】解：（1）由题意知，从而，
∴。
∵，∴。
（2）由，及，得，
∴是直角三角形，且。∴。
【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。
【分析】（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可。
（2）利用余弦定理以及，求出是直角三角形，即可得出的值。也可以由正弦定理得：，而。

18、【答案】解：（1）∵，∴，即。
由正弦定理，得，∴。
又∵，∴。∴即。
（2）∵ ，∴。∴。
∴，即。∴。
由 （1） ，得，解得。
∵，∴。∴。
【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。
【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
（2）由可求由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。

19、（1），,

又，，

(2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为
，，

.
设 .
,
上为减函数；
上为增函数.
当时，取到最小值,此时总利润最大.
所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大.
20、【答案】证明：（1）设三边长分别为，，
∵是有理数，∴是有理数， 为正有理数。
又∵有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数，
当时，∵，且cosA是有理数， ∴也是有理数。
②假设当时，结论成立，即cosA、均是有理数。
当时，

，
∴。
∵cosA，，均是有理数，∴是有理数。
∴是有理数。
即当时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数，cosA也是有理数。
【考点】余弦定理的应用，余弦的两角和公式，数学归纳法。
【分析】（1）设出三边为，根据三者为有理数可推断出是有理数，是有理数，从而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知=cosA，因此cosA是有理数。
（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数。再假设时，结论成立，从而可知，均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得，根据cosA，，均是有理数推断出是有理数是有理数，即是有理数。从而时成立．最后综合原式得证。

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