2022年全国中学生数学奥林匹克（决赛）试题与答卷情况分析.pdf

全国 中学生数学奥林匹克（决赛）是国内中学生顶尖的数学竞赛之一参赛学生经层 层选拔人选决赛考试通过对参赛考生的试卷与答卷情况进行分析，整理出考生在答题过程中易 忽视的细节和易错点，帮助竞赛教练员更宏观地了解考试内容，为日后更好地开展教学和培养资优生提供一些辅导建议，给数学竞赛爱好者提供一些好的、妙的解题思路、技巧和方法关键词：数学竞赛；试卷分析；得分情况中图分类号：文献标识码：文章编 号：（）引用格式：主试委员会 年全国 中学生数学奥林匹克（决赛）试题与答卷情况分析：中等数学，（）：年全国 中学生数学奥林匹克（决赛）由广东省深圳市深圳中学承办，受疫情影响，于 年月 日各省份考场举行考试在各地科技协会、数学会与承办单位的共同努力下，内地共有名考生参加了本次比赛（另有来自中 国香港、中 国澳门、新加坡三支队伍共名学生参加）本文就此次竞赛的试题、不同解法与答卷情况做一些简单介绍试题及阅卷开始时命题组准备的部分答 案可见文的“参考答案”（以下简称“参考答案”）第一题第（）问另一种解法解由（）（）知收稿日期主试委员会来自（排名不分先后）：清华 大学（艾颖华）、北京 大学（肖梁、余君、杨诗武）、中 国科学院数学与系统科学研究院（王彬）、北京化工大学（姚博文）、复旦大学（姚一隽、谢践生、任 汝飞、韩京俊）、上海理工大学（张思汇）、华 东师范大学（熊斌、瞿振华、何忆捷、吴尉迟）、南方科技大学（付云皓）以及北京 大学、清 华大学和华东师范大学的几位研究生何忆捷、韩 京俊、张思 汇、王彬、付云皓、瞿振华、艾颖华等提供了很多素材，由肖梁、姚一隽、熊斌负责数据统计分析及统 稿（）（）（）（）（）接下来证明。，这等价于、夂 心、（）（）（）（）（）下面给出三种证明式成立的方法证法反证法？假设心，此时显然有 年第期，则（）（）（）（）、（）又由于？故（）（），与式矛盾从而，式成立证法由于。，且（彡彡），故）（，），于是，式成立证法方面由不等式得？）（）另方面，（）（）（）（）（）、（、）（、（、彡（）；结合式知 于是，式成立这是一个考查代数基本功的题第（）问考查求数列通项公式，第（）问则考查不等式的基本放缩技巧，两问相对独立有同学在求通项公式失败的情况 下，解决了第（）问第（）问中求，丨的通项稍难，有一些同学对数学归纳法的掌握不够理想，猜出丨？！，的通项后若缺少归纳法的基本步骤和说明会被扣分第（）问有一个“陷阱”，当 时，有不少同学利用不等式将这项相乘后错误地断言（不等式左、右两边的项数不符）：（）事实上，上式当时并不成立，通分后比较的次高项系数可知矛盾希望考生们在今后的学习与训练中能更严谨地解题与答题本题的得分情况如表表得分人数本题平均分是分，在获得银牌以上的同学中，平均分达到分（但进入国中等 数 学家集训队的人，本题平均分也没有达到 分）第二题首先，本题中描述好三角形对是存在的在给定三角形（此处是的三边所在直线上找三个点，使得得到的三角形具有 给定的形状，且指定其中一条边的方向（从而三边的方向都是确定的），这是容易做到的在题面的最后出现了三角形面积的倒数，而我们知道，在古典的平面几何里，有意义的（数）量只有长度与面积（的比例），所以，要想到把这两个三角形的面积与一个“基准”三角形去比较（在这里就是）本题涉及的几何变换并不复杂，有向面积部分在概念角度有一定的要求计算的关键部分（对于给定的两个对应 边垂直的正和為尽，的面积之和是常数）是意大利数学家 的一个定理（该定理 年发表在由和编辑的杂志上）绝大多数做出本题的考生采用的是一种计算量较大的方法：（）在两个三角形顺向相似的基础上，找到它们的旋转位似中心；（）证明对于所有的好三角形对，这个位似旋转中心是同一个点；（）这两个三角形上的对应点到这个中心的连线构成的直角三角形是相似的；（）利用勾股定理的一个等价形式“直角三角形的两条直角边的倒数的平方和等于斜边上的高的平方的倒数”，这两个三角形的面积的倒数和就转化成一个三角形的面积的倒数；（）最终问题归结为：找出一个点，它到正三角形三边的垂足三角形的各边长之比为：，再求这个三角形的面积的倒数也有为数不多的考生采用的方法是把三角形的面积直接表达成（或）的某条边的斜率（即它们的某条边与正三角形的某条边的夹角）的三角函数，通过计算得到两个三角形的面积的倒数和与这个夹角无关，而只是）现（从而也是）的内角 的表达式，并计算出具体数值本题的得分情况如表表得分人数 本题平均分是分，低于预期对于获得金牌的同学，本题的平均分达到分，但对于获得银牌的 同学，本题的平均分只有分依照的几何题命题惯例，本题没有给图，这样就要求考生自己作出相应的几何构型我们注意到，有不少同学在把几何问题代数化的过程中，没有意识到自己写出的代数式是依赖于画在卷面上的图中各点的相互位置的，就直接认为对于所有的情况都是成立的，这不是一个好的习惯在欧氏几何中，几何量的表达往往会因为点的位置不同而产生正、负号的差异把几何结论转化成代数问题加以证明，依照的 阅卷惯例，根据卷面上有完整证明的几何结论给分也就是说，不完整的代数式变形步骤本身是不能作为给部分分的依据的第三题对于参考答案中的关键部分引理，还有以下两种证法 年第期证法（此证法和原证明本质相同，但表述不同）对中的黑线段，称白点个数较少的一侧的白点为一个“内部白点集”（若，），任取一侧的白点内部白点集）注意到任意两个内部白点集（对两个不同的黑线段）要么不相交要么一个包含在另一个里面取所有最大的内部白点集，并将不在任何内部白点集的点自己当作一个内部白点集只需证明存在一个白点配对方案，使得没有两个白线段对应的白点在同一内部白点集中为此，先取一个最大的内部白点集，将其沿顺时针方向最后一个白点和顺时针方向下一个白点相连，并将这两个白点去掉，考虑剩下的白点和对应的内部白点集显然这样得到的是一个白点配对方案，而这个白点配对方案满足条件，因为由归纳易知任何时候最大的内部白点集的白点个数都不大于其余内部白点集白点总数之和证法首先构造一个弱白点配对方案，即将白点配对但不 要求相应的白线段两两不交，使得（成（约事实上，若为圆周上顺次 排列的个白点，只需要将与配对即可，因为这样配对会使得对任一黑线段，其白点较少的一侧的白点都与另一侧相连取所有满足（久）（灼的弱白点配对方案中，白线段欧氏距离总和的最小者叫接下来证明。中的个白线段两两不相交若不然，设线段柯和线段相交，不妨设它们在圆周上按顺时针方向依次为取、由于夕中的黑线段两两不交，于是不能同时有从弧沒连到弧的黑线段和从弧好连到弧的黑线段不妨设没有从弧设连到弧的黑线段将和改为和得到弱白点配对方案，这显然减少所有白线段的欧氏距离总和，如图下面比较（？為）和（）对于任意一条从弧？连到弧或弧连到弧或弧？连到弧或弧沒连到弧的黑线段，它与、的相交总数是，且与两线段、的相交总数也是对于任意一条从弧连到弧沒的黑线段，它与、的相交数都是从而，（成。）（？，），这与所有白线段欧氏距离和极小矛盾因此？。是一个白色配对方案，完成引理的证明这道题有某种对称或者更准确地说“对偶”的感觉，即用白点和黑点计算染 色距离得到相同的最大值，这是数学中常常出现的一类现象解题的关键在于某种算两次的想法，以黑线段和白线段的交点总数（州作为连接染色距离（灼和（？）的桥梁本题的得分情况如表表得分人数本题平均分是分，是这次考试得分率最低的一道题对于最终进人集训队的同学，这道题的平均分达到了分，而没有进人集训队但获得金牌的同学这道题的平均分不到分第四题本题解答中情况有另一种证明对襄，考虑下述等式（由马是為 為的中点）、不等式（两边长之和大于第三边）：中等数学狀【峨，尽為尽石尽对，式、左、右两边求和分别相等，但一个是等号，另一个是严格不等号，矛盾注意，若题目改为“对任意彡襄，存在（！？），使得直线经过线段的中点”，答案仍为的证明在情况时与参考答案基本相同（但允许取负值）对于情况，我们知道这五个点的凸包多边形任意两个相邻顶点角标不能相邻，否则它们连线所在的直线不能过另一线段的中点因此构图也必须如情况所示本题是一道简单题，组合几何是预选题的“常客”，不过简单图形和有限极值在预选题里并不常见，这也导致了本题很难找到类似问题解答中能够大大降低后续讨论的复杂程度的仿射变换，在考试中几乎没有考生使用由此可见，在今后的教学中，在开阔学生眼界这方面还有很多提高的余地本题最困难的部分是需要合适的讨论方式处理的，参考答案中的处理本质上只需要讨论两种情况，而很多考生处理分类讨论的能力较差，不但有一些考生将全部种情况逐一讨论，还出现了一些使用错误的对称假设的解答本题的得分情况如表表得分人数 本题平均分是分，获得银牌的同学的平均分达到分，比获得金牌的同学的平均分低分多，但比获得铜牌的同学的平均分（分）要高出不少虽然因为有一点点门槛使得有少量同学得了分，但是本题的平均分与第一题相比相差不多，且高分段学生更多第五题本题的证明都需要从，中（或一个子序列中）估计含平方因子的项的个数，记为（，再从（来证明存在一个无平方因子项注意到素数可分为三类：（）无关素数才任意（）好素数：连续；项中恰有一项被整除；（）坏素数连续项中恰有一项被整除（等价于丨，？，？，其中）？坏素数只有有限个，设为，记？，则？丨丄在参考答案中，首先考虑没有坏素数的情况，此时（）对于一般情况，选取一个子列使得其中没有坏素因子当然，也可以合二为一地写，先选取一个子列，再从中估计有平方因子的数的个数，很多同学在考卷上采用这样的写法，与参考答案本质是一样的此外，也可以将坏素数与好素数放在起讨论设，使得丨在连续项中，有州？）项不被任何整除，故，中有一项不被任何整除记，是叫（？）个模的同余类的并集设是好素数，从中删去丨？的，每个模的同余类中每项有一项被删去，故删去不超过剛（表不小于实数的最小年第期整数）项注意若？，则因此，专，故，（）（）（）丄（），（？所以也满足要求本题的得分情况如表表得分人数 本题平均分是分，获得金牌的同学的平均分达到分，获得银、铜牌的同学此题的平均分只有分第六题也可以利用题述条件估计，丨；的大小，通过建立丨 来证明题述结论易知，从，连向的有向边￥都满足；，；，在反证法的假设下，注意到连向其补集的边￥都满足，可得丨丨，丨由此可得对有丨，；，之后可用归纳法证明对有，彡（：）本题的得分情况如表表得分人数本题平均分是分进人集训队的同学本题的平均得分接近分，获得金牌的其他同学这道题的平均分不到分成绩结果分析得分分布今年参加决赛的考生人数比去年有一定增加，总数为 人，整张考卷（满分分）的平均分，标准差？图为本届试题得分分布情况 得分图分数线银牌银牌的理论数是全体考生的，实发人，占比，银牌线为分在银牌 线（即，）分的范围内，考生总分与各题得分的统计相关系数如表表题号一二三四五六与总分的相关系数 金牌金牌的理论数是全体考生的，实发 人，占比，金牌线为分在金牌线（即，）分的范围内，中等数学一道 初中竟赛題的多神解法 与推广王松萍金荣生（上海市 市北初级中学，上海交通大学附属中学，）摘要：对一道 年日本初中数学奥林匹克决赛试题分别以三元一次方程组的解、排序不等式、空间向量为视角给出三种不同的解法，并将问题从三维推广到四维通过分类讨论，得到四维的反序和到正序和的个代数式中最多有个代数式的值相等关键词：初中数学奥林匹克；三元次方程组；排序不等式；空间向量中图分类号：文献标识码：文章编 号：（）引用格式：王松萍，金荣生一道初中竞赛题的多种解法与推广中等数学，（）：题目设、：、是个互不相等似；，：（，（：，的实数？在以下个代数式中，收稿日期 作者简介：王松萍（），女，浙江温州人，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究考生总分与各题得分的统计相关系数如表表题号一二三四五六与总分的相关系数中 国 国家集训队两天考试，第一天得分的第 名是分，第二大得分的第 名是分（第一大第？名都是分，第二天第？名都是分）人选年国际数学奥林匹克中 国 国家集 训队的考生的最低分是分（对于总分为 分的同学（共人），根据赛前领队会议上公布的排序规则排序：“若总分相同，则先对成绩加权计分：加权总分第一题得分第四题得分（第一题得分第五题得分）（第三题得分第六题得分），以加权总分高的排在前面若加权后分数仍然相同，则再依次比较第六、三、五、二、四、一题的分数，分数高的排在前面本次比赛实际只用到了“加权总分”排序）他们两天得分人数的分布如表表得分第一天第二天得分 第？天第二天在集训队线（即，）分的范围内，考生总分与各题得分的统计相关系数如表表题号一二三四五六与总分的相关系数参考文献：年全国 中学生数学奥林匹克（决赛）中等数学，：