常系数非齐次线微分方程市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

YANGZHOU UNIVERSITY,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九节,一、,二、,第十二章,第1页,第1页,二阶常系数线性非齐次微分方程:,依据解结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解办法,依据,f,(,x,)特殊形式,待定形式,代入原方程比较两端表示式以拟定待定系数.,待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,第2页,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)若,不是特性方程根,则取,从而得到特解,形式为,为,m,次多项式.,Q,(,x,)为,m,次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,第3页,(2)若,是特性方程,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3)若,是特性方程,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特性方程,k,重根,时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,第4页,例1.,一个特解,.,解:,本题,而特性方程为,不是特性方程根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,第5页,例2.,通解,.,解:,本题,特性方程为,其根为,相应齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,第6页,例3.,求解定解问题,解:,本题,特性方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故相应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,第7页,于是所求解为,解得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,第8页,二、,第二步,求出下列两个方程特解,分析思绪:,第一步,将,f,(,x,)转化为,第三步,利用叠加原理求出原方程特解,第四步,分析原方程特解特点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,第9页,第一步,利用欧拉公式将,f,(,x,)变形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,第10页,第二步,求下列两方程特解,是特性方程,k,重根(,k,=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程,特解.,设,则,有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,第11页,第三步,求原方程特解,利用第二步结果,依据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为,m,次多项式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,第12页,第四步,分析,因,均为,m,次实,多项式.,本质上为实函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,第13页,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特性方程,k,重根(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,第14页,例4.,一个特解,.,解:,本题,特性方程,故设特解为,不是特性方程根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,第15页,例5.,通解,.,解:,特性方程为,其根为,相应齐次方程通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特性方程单根,因此设非齐次方程特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,第16页,例6.,解:,(1)特性方程,有二重根,因此设非齐次方程特解为,(2)特性方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程特解形式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,第17页,例7.,求物体运动规律.,解:,问题归结为求解无阻尼逼迫振动方程,当,p,k,时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,第七节例1,(P294),中若设物体只受弹性恢复力,f,和铅直干扰力,代入可得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,第18页,当干扰力角频率,p,固有频率,k,时,自由振动,逼迫振动,当,p,=,k,时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,第19页,若要利用共振现象,应使 p 与 k 尽也许靠近,或使,伴随,t,增大,逼迫振动振幅,这时产生共振现象.,可无限增大,若要避免共振现象,应使,p,远离固有频率,k,;,p,=,k,.,自由振动,逼迫振动,对机械来说,共振也许引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振也许起有,利作用,如收音机调频放大即是利用共振原理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,第20页,内容小结,为特性方程,k,(0,1,2)重根,则设特解为,为特性方程,k,(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,第21页,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提醒:,1.,(填空),设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,第22页,2.,求微分方程,通解 (其中,为实数).,解:,特性方程,特性根:,相应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,第23页,3.,已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程通解.,解:,将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,相应齐次方程通解:,原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,第24页,作业,P317 1(1),(5),(6),(10);,2(2),(4);,3;6,习题课2 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,第25页,