建立数学模型公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第,一,章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型,1.2 数学建模主要意义,1.3 数学建模示例,1.4 数学建模办法和环节,1.5 数学模型特点和分类,1.6 如何学习数学建模,第1页,第1页,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中舰艇、风洞中飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型,是为了一定目的，对客观事物一部分,进行简缩、抽象、提炼出来,原型,替换物,模型,集中反应了,原型,中人们需要那一部分特性,1.1,从现实对象到数学模型,我们常见模型,第2页,第2页,你碰到过数学模型,“航行问题”,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速每小时,20,千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，,从乙到甲逆水航行需50小时，问船速度是多少?,x,=,20,y,=,5,求解,第3页,第3页,航行问题,建立数学模型基本环节,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示相关量（,x,y,表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以,时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（,x,=20,y,=5）；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,第4页,第4页,数学模型(Mathematical Model)和,数学建模（Mathematical Modeling),对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,依据其,内在规律,，作出必要,简化假设,，,利用适当,数学工具,，得到一个,数学结构,。,建立数学模型全过程,（包括表述、求解、解释、检查等）,数学模型,数学建模,第5页,第5页,1.2,数学建模主要意义,电子计算机出现及飞速发展；,数学以空前广度和深度向一切领域渗入。,数学建模作为用数学办法处理实际问题第一步，,越来越受到人们注重。,在普通工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。,第6页,第6页,数学建模详细应用,分析与设计,预报与决议,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,如虎添翼,第7页,第7页,1.3,数学建模示例,1,.,3.1,椅子能在不平地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿同样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,第8页,第8页,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)对称性,x,B,A,D,C,O,D,C,B,A,用,(对角线与,x,轴夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是,函数,四个距离(四只脚),A,C,两脚与地面距离之和,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD,绕O,点旋转,正方形对称性,第9页,第9页,用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来,f,(,),g,(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,)至少一个为0,数学问题,已知：,f,(,),g,(,),是,连续函数;,对任意,，,f,(,),g,(,)=0;,且,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0.,证实：存在,0,，使,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,第10页,第10页,模型求解,给出一个简朴、粗糙证实办法,将椅子,旋转90,0,，对角线AC和BD互换。,由,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0，知,f,(,/2,)=0,g,(,/2,)0.,令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0和,h,(,/2,)0.,由,f,g,连续性知,h,为连续函数,据连续函数基本性质,必存在,0,使,h,(,0,)=0,即,f,(,0,)=,g,(,0,).,由于,f,(,),g,(,)=0,因此,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,评注和思考,建模关键,假设条件本质与非本质,考察四脚呈长方形椅子,和 f(),g()拟定,第11页,第11页,1.,3.2,商人们如何安全过河,问题(智力游戏),3名商人,3名随从,随从们密约,在河任一岸,一旦随从人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河方案由商人决定.,商人们如何才干安全过河?,问题分析,多步决议过程,决议,每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员,要求,在安全前提下(两岸随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,河,小船(至多2人),第12页,第12页,模型构成,（1）x,k,第,k,次渡河前此岸商人数,y,k,第,k,次渡河前此岸随从数,x,k,y,k,=0,1,2,3;,k,=1,2,s,k,=(,x,k,y,k,)状态变量,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x,=,y,=1,2,S,允许状态集合,（2）u,k,第,k,次渡船上商人数,v,k,第,k,次渡船上随从数,d,k,=(,u,k,v,k,)决议,D=(,u,v,),u+v,=,1,2,允许决议集合,u,k,v,k,=0,1,2;,k,=1,2,第13页,第13页,（,3）由于k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶回此岸，因此状态随决议改变规律是,s,k,+1,=,s,k,d,k,+(-1),k,状态转移律,多步决议问题,求,d,k,D(,k,=1,2,n),使,s,k,S,并按转移律由,s,1,=(3,3)到达,s,n,+1,=(0,0).,第14页,第14页,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法 编程上机,图解法,状态,s,=(,x,y,)16个格点,10个 点,允许决议 移动1或2格;,k,奇,左下移;,k,偶,右上移.,s,1,s,n,+1,d,1,，,d,11,给出安全渡河方案,评注和思考,规格化办法,易于推广,考虑4名商人各带一随从情况,d,1,d,11,允许状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x=y,=1,2,第15页,第15页,小结：图办法,图是由平面上一些点及这些点之间连线（边）构成。用点表示要研究离散对象，用边表示对象之间关系来建立模型，并且用图性质和算法求解模型，是研究,离散问题,主要手段。,第16页,第16页,某人带狗、鸡、米渡河，一小船除需人划外，每次只能载一物过河。而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问此人应如何过河？,（1）模型构成,此问题可化为状态转移问题，用四维向量（人，狗，鸡，米）来表示状态，当一物在此岸时相应分量取1，而在彼岸时则取0,第17页,第17页,（1）可取状态,人在此岸,(1,1,1,1)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0),人在彼岸,(0,0,0,0)（0,0,0,1)(0,0,1,0)(0,1,0,0)(0,1,0,1),总共有十个可取状态。,摆渡情况用1表示过河，0表示未过河,。,此状态只有四个允许转移向量,第18页,第18页,背景,年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口(亿)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995,人口(亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口改变规律,控制人口过快增长,1.3.3,如何预报人口增长,第19页,第19页,指数增长模型马尔萨斯提出(,1798,),惯用计算公式,x,(,t,),时刻,t,人口,基本假设,:人口增长率,r,是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,伴随时间增长，人口按指数规律无限增长,第20页,第20页,指数增长模型应用及不足,与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合,适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地域人口增长规律,不能预测较长期人口增长过程,19世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数(逐步下降),第21页,第21页,阻滞增长模型(,Logistic,模型),人口增长到一定数量后，增长率下降原因：,资源、环境等原因对人口增长阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增长而变大,假设,r,固有增长率(,x,很小时),x,m,人口容量（资源、环境能容纳最大数量）,r,是,x,减函数,第22页,第22页,dx,/,dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,(,t,)S,形曲线,x,增长先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型(,Logistic,模型),第23页,第23页,参数预计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口,预报，必须先预计模型参数,r,或,r,x,m,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4,专家预计,阻滞增长模型(,Logistic,模型),r,=0.2557,x,m,=392.1,第24页,第24页,模型检查,用模型计算美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国人口,加入人口数据后重新预计模型参数,Logistic,模型在经济领域中应用(如耐用消费品售量),阻滞增长模型(,Logistic,模型),r,=0.2490,x,m,=434.0,x,()=306.0,第25页,第25页,数学建模基本办法,机理分析,测试分析,依据对客观事物特性结识，,找出反应内部机理数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据,统计分析，找出与数据拟合最好模型,机理分析没有统一办法，主要通过实例研究,(Case Studies),来学习。下列建模主要指机理分析。,两者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析拟定模型参数,1.4,数学建模办法和环节,第26页,第26页,数学建模普通环节,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检查,模型应用,模,型,准,备,理解实际背景,明确建模目,搜集相关信息,掌握对象特性,形成一个,比较清楚,问题,第27页,第27页,模,型,假,设,针对问题特点和建模目,作出合理、简化假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,构,成,用数学语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽也许采取简朴数学工具,数学建模普通环节,第28页,第28页,模型,求解,各种数学办法、软件和计算机技术,如结果误差分析、统计分析、,模型对数据稳定性分析,模型,分析,模型,检查,与实际现象、数据比较，,检查模型合理性、合用性,模型应用,数学建模普通环节,第29页,第29页,数学建模全过程,现实对象信息,数学模型,现实对象解答,数学模型解答,表述,求解,解释,验证,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当数学办法求得数学模型解答,将数学语言表述解答“翻译”回实际对象,用现实对象信息检查得到解答,实践,现实世界,数学世界,理论,实践,第30页,第30页,1.5,数学模型特点和分类,模型逼真性和可行性,模型渐进性,模型健壮性,模型可转移性,模型非预制性,模型条理性,模型技艺性,模型不足,数学模型特点,第31页,第31页,数学模型分类,应用领域,人口、交通、经济、生态 ,数学办法,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性,描述、优化、预报、决议 ,建模目,理解程度,白箱,灰箱,黑箱,拟定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,第32页,第32页,1.6,如何学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大体有章可循,艺术无法归纳成普遍合用准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过模型,亲自动手，认真作几种实际题目,第33页,第33页,