第八章第9讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系.doc

第9讲　圆锥曲线的综合问题

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C1的交点
a＝0
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
无公共点
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)
一个交点
a≠0
Δ＞0
两个不相等的解
两个交点
Δ＝0
两个相等的解
一个交点
Δ＜0
无实数解
无交点
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|
＝.
[做一做]
1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．4
解析：选C.由消去y得ax2－x＋1＝0，所以解得a＝.
2．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是(　　)
A．k＞－ B．k＜
C．k＞或k＜－ D．－＜k＜
解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知
－＜k＜.

1．辨明两个易误点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．
2．“点差法”求解弦中点问题的步骤
—
　↓
—
　↓
—
　↓
—
[做一做]
3．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条　　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
4．椭圆＋y2＝1的弦被点(，)平分，则这条弦所在的直线方程是________．
解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
∵A，B在椭圆上，
∴＋y＝1，＋y＝1.
＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＝－＝－，
即直线AB的斜率为－.
∴直线AB的方程为y－＝－(x－)，
即2x＋4y－3＝0.
答案：2x＋4y－3＝0

第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系

__直线与圆锥曲线的位置关系____________

　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
[解]　(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，
所以c＝1.
将点P(0，1)代入椭圆方程＋＝1，
得＝1，即b＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.
整理得2k2－m2＋1＝0.①
由消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，
整理得km＝1.②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
[规律方法]　直线与圆锥曲线位置关系的判断方法：
用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．
　1.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2＝－4y的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝.
又＝，解得a＝2，c＝1，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1.
由
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①
因为直线l与椭圆相切，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.
整理，得32(6k＋3)＝0，解得k＝－.
所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.
将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.
__弦长问题____________________________

　(2014·高考辽宁卷)圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．

(1)求点P的坐标；
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋交于A，B两点．若△PAB的面积为2，求C的标准方程．
[解]　(1)设切点为P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)．
(2)设C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由点P在C上知＋＝1，并由
得b2x2＋4x＋6－2b2＝0.
又x1，x2是方程的根，因此

由y1＝x1＋，y2＝x2＋，得
|AB|＝|x1－x2|＝·
由点P到直线l的距离为及S△PAB＝×|AB|＝2，得b4－9b2＋18＝0，解得b2＝6或3.因此b2＝6，a2＝3(舍去)或b2＝3，a2＝6.从而所求C的方程为＋＝1.
[规律方法]　弦长的计算方法
求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．
[注意]　注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．
　2.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，
x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，因为0＜b＜1.
所以b＝.
__中点弦问题__________________________

　(2014·高考江西卷)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，
∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.
[答案]　
　本例条件变为：过点M(1，1)的直线l与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，求直线l的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＝－，
∴直线l的方程为：y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
[规律方法]　处理中点弦问题常用的求解方法：
1．点差法：
即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
2．根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
[注意]　中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
　3.(2015·广东肇庆模拟)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点M(2，1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
解：(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，焦半距为c＝2，
所以其虚半轴长b＝＝.
又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则
两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为M(2，1)为AB的中点，
所以
所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即kAB＝＝6.
故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.

1．(2015·河南郑州市质量预测)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．8
C．12 D．16
解析：选D.抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.
2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选C.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，
∴e＝＝＞＝.
3．(2015·昆阳市调研)已知斜率为2的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A、B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则C的离心率等于(　　)
A．2 B．2
C. .
解析：选D.设A(x1，y1)、B(x2y2)，代入双曲线方程得－＝1，－＝1，两式相减得＝，
∴＝，
∴2＝×，∴a＝b.故双曲线是等轴双曲线，则离心率为.
4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，(，)，
∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为(　　)
A．5 B．4
C. D.
解析：选B.根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ，得(－x1，－y1)＝λ(x2－，y2)，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝(x－)，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.
6．(2015·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_．
解析：由题意得
解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，
切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.
又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x－4x1－4p2＝0；同理有x－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6，得y1＋y2＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.
答案：1或2
8．(2015·郑州模拟)已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.
∴·＝3，即kMN·＝3，
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0，
又∵y0＝x0＋m，
∴P(－，)，代入抛物线方程得
m2＝18·(－)，
解得m＝0或－8，经检验都符合．
答案：0或－8
9．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点．
(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求·的值．
解：(1)∵F(1，0)，∴直线L的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.
∴|AB|＝
＝·＝·＝8.
(2)设直线L的方程为x＝ky＋1，
由，得y2－4ky－4＝0，
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∴·＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
10．(2015·衡水中学调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点(1，)在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为.求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
解：(1)由题意知c＝1，2a＝＋＝4，a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①当直线l⊥x轴时，可取A(－1，－)，B(－1，)，△AF2B的面积为3，不符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得：
(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ＞0成立，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
可得|AB|＝，
又圆F2的半径r＝，
∴△AF2B的面积为|AB|r＝＝，
化简得：17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，
∴r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.

1．(2015·昆明三中、玉溪一中联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到直线x＋y＋＝0的距离为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M(0，－1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足＝－，求直线l的方程．
解：(1)设右焦点为(c，0)，则＝2，c＋＝±2，c＝或c＝－3(舍去)．
又离心率＝，即＝，解得a＝2，则b＝＝，
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，0)，
因为＝－，
所以(x1－x0，y1)＝－(x2－x0，y2)，y1＝－y2　①，
易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，
于是设l的方程为y＝kx－1(k≠0)，联立消去x得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，
因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交．
于是y1＋y2＝－　②，y1y2＝　③，
由①②得，y2＝，y1＝－，代入③整理得8k4＋k2－9＝0，k2＝1k＝±1.
所以直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.
2．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．
解：(1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2，0)，得a＝2，∴c＝，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)由e＝，设椭圆方程为＋＝1，
联立，
得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0，1]上有解，
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴，
即，
∴≤a2≤4，
故a的取值范围是≤a≤2.
3．(2015·安徽合肥市质量检测)已知椭圆：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B，M是椭圆上的三点．若＝＋，点N为线段AB的中点，C，D，求证：|NC|＋|ND|＝2.
解：(1)由已知可得，故
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋y＝1，＋y＝1.
由＝＋，
得M.
因为M是椭圆C上一点，
所以＋＝1，
即＋＋2×××＝1，
得＋＋2×××＝1，
故＋y1y2＝0.
又线段AB的中点N的坐标为，
所以＋2＝＋＋＋y1y2＝1，
从而线段AB的中点N在椭圆＋2y2＝1上．
又椭圆＋2y2＝1的两焦点恰为
C，D，
所以|NC|＋|ND|＝2.