二次函数与一元二次方程（2）（教学设计说明）.doc

第二章 二次函数
8.二次函数与一元二次方程（二）
广东省深圳市罗湖外语学校 罗惠萍
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上学期学习了用多种方法求解一元二次方程的根，其中有因式分解法、配方法、求根公式法，通过这些方法他们可以准确的求出方程的根。在上节课，他们学习了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。这些知识基础完全可以使他们很好的完成本节课的学习目标。
学生活动经验基础：学生在本章第4节学习了“二次函数y=ax2+bx+c的图象”，其间他们学习了用列表、描点的方法画出抛物线。上节课他们又学习了利用“数”与“形”两种方法来研究二次函数与一元二次方程关系的问题，因此他们积累了一定的数形结合思想运用的认识经验，这些经验可以让他们很好的理解本节新课的学习任务。

二、教学任务分析
本课的具体学习任务：进一步体会二次函数与一元二次方程之间的联系；通过观察二次函数图象与x轴的交点，估计对应的一元二次方程的根的取值，进一步培养学生运用“数形结合”思想解决问题的能力;由于学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，学生在知识准备上，他们已经有了较充分的准备。本节课就是对上节课从实践方面对二次函数与一元二次方程关系进行一次体验。教师在课堂上只需要通过新课前的热身练习题组，由易到难的设问，让学生回顾上节课的学习内容，再通过挑战性的语言，让学生对本节新课充满期待和探索的欲望。在想一想、填一填、议一议、试一试等活动中，让他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的理论学习最终要落实到实践应用上。本节课的教学目标是：
知识与技能
1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根；
2．巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
过程与方法
1．经历一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；
2．经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
情感态度与价值观
1．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系．

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：仔细观察、大胆联想；课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；教材题变形、拓展提高；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。

第一环节 仔细观察、大胆联想
问题：函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，
x= 为该图象的对称轴，根据图象
信息你能得到关于系数a，b，c的一些 -1 1
什么结论？ -1

分析点拨：
⑴ a＞0
⑵ -1＜c＜0
⑶ b2-4ac＞0;
⑷ ∵x= , ∴2a=-3b;
⑸ 由⑴，(4)得b＜0
⑹ 由⑴,⑵,⑸得 abc＞0;
⑺ 考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0
⑻ 又x = -1 时 y＞0，所以有a-b+c＞0;
⑼ 考虑顶点的纵坐标，有0＜c-＜-1。
活动目的：
通过一道开放性的训练题，来训练学生由“形”到“数”的形数结合能力，由于结论开放，可以考察出不同层次学生的思维能力，观察问题的是否仔细、全面。教学中先给学生独立思考的时间，再小组议论的形式，借此培养学生合作探究、相互交流、取长补短的合作意识和团队精神。
实际教学效果：
由于本练习题思考解决的入手点的多样性，学生回答问题的积极性很高，小组间的议论很热烈。教学中，我开展了看哪个小组得到的结论多的活动，同学们之间、学习小组之间的竞争气氛被很好的调动起来。有的小组得到了5个结论，有的小组得到了6个结论，我及时带领同学再认真从不同角度审图，精简点拨之后，又有些小组受到启发，踊跃抢答。当同学们回答完我事先准备好的答案后，他们还提出了另一些结论：如a+2b+4c＜0，＜2等。课堂的气氛被学生精彩的回答渲染的非常热烈。

-1
1
-1
第二环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ .
2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线________交点的________坐标。
5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标 .
活动目的：
教学第二个环节课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来。问题（1）的设置解题入手方向有三个，可以分别从一般式、顶点式、交点式考虑解决。以此来巩固学生求二次函数解析式的分析、运算能力。问题（2）是考察学生对二次函数系数a、b、c、△如何决定抛物线图象位置，培养学生从“数”到“形”的探究能力。问题（3）是对上节课知识内容的复习，考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确。问题（4）、（5）即作为对上节课内容的回顾，又为引入本节新课作好了铺垫。
实际教学效果：
学生对第（1）小题的解答确实出现了三种解法，由于时间有限，我没有做详细点评，只是提示了可以用三种方法得到，但三种方法的简洁程度的确不同。第（2）小题从已知a、b、c的条件只能判断出图象的开口、对称轴的位置，还不能判定顶点的位置，但学生很容易联想到上节课学习的△＞0可以决定图象与x轴有两个交点的结论，最终较准确判断出抛物线的位置。第（3）小题由于是上节课例题的简单变形，学生通过变形为顶点式和解方程很快的得到结论。第（4）（5）小题考察学生对上节课学习内容的理解，在实际教学中，他们大多能够准确回答出，为随后的新课作好了引如的准备。

第三环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象
(2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与
x轴的交点的横坐标；
由图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标
一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,
分别约为4.3和2.3.
(3) 确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:
x1≈-4.3,x2≈2.3

活动目的：
这一环节是本节新课的重点内容，例题的设计意图一是让学生巩固对二次函数图象抛物线的形成的认识，其二主要是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系。
实际教学效果：
在带领学生回顾二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理之后，我引导学生明确了除应用求根公式计算二次方程的根之外，还可以利用画二次函数图象与x轴的交点求二次方程的根。起初学生不明白为什么能用求根公式很快计算出根来，偏偏还要用画图的方法。此时，我向同学们解释说，用求根公式求解是体现数形结合思想中“数”的一面，我们现在准备利用“形”的一面来解题。于是学生便饶有兴趣的思考下去了。
利用列表、描点画抛物线的方法学生显的比较陌生了，我就在黑板上边启发、边示范、边讲解，取自变量之前，最好先把一般式转化为顶点式，先找出顶点的横坐标，再在它左右等距离取不同的自变量值，然后分别求出对应的纵坐标值。在坐标系中描出各个点后，用光滑的曲线连接即成草图。在观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标时，由于画图误差，观察数据与实际值有较大偏差。此时我向同学们提出一个问题：“如何更准确的估计出根的取值？如果精确到十分位，那么到底近似值取-4.1、-4.2、-4.3、-4.4、-4.5、-4.6、-4.7、-4.8、-4.9中的哪一个更准确呢？”我故意把这9个数值在黑板上一一列出来，学生马上想到可将-4到-5之间的单位长再十等分,把这9个自变量值分别代入函数中，借助计算器确定哪一个的函数值最接近0，那么它就是根的近似值。教学中虽然我发现了学生普遍感觉到这种方法很麻烦，但在探索求根的近似值的过程中，有必要让他们感受到数学探索的过程并不是总充满乐趣，有时还是很艰辛的。

第四环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象
(2) 作直线y=3；
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,
另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:
x1≈-4.7,x2≈2.7

活动目的：
巩固学生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标这一代数原理，培养学生熟练画函数图象的能力，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力。由于要列表、取值计算、描点的工作量较大，教学中我组织了学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生合作意识。

实际教学效果：
学生经过前一例题的学习，他们都跃跃欲试。我知道要完整给出图象解法是很费时间的，于是我组织了小组间的画图竞赛，看哪个小组完成的又好又准确。学习小组之间首先设计好解题思路，列表、取点、计算、描点、连线。当他们发现左边的交点横坐标在-5到-4之间时，模仿例题的方法也对将单位长进行了十等分,借助计算器求出了函数值，起初他们发现值都在3的左右而不是0时有些迷惑，随后便恍然大悟。看到他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中的样子，我心理很欣慰。
在小组成果对比中，同学们发现有个小组的图象和别人的不同，起初有些议论，我就请了这个小组的成员上了讲台发言。原来他们把方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0，这样问题就转化成前面已经解决了问题了。
附创新解法2：
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；
(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之
间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。
(4) 确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:
x1≈-4.7 ，x2≈2.7

同学们明白了这种解法的简洁原因，我也不失时机的向全班同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性。

第五环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
问题1：利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根
分析解答：
1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象；
2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x
轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有
两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个
在2与3之间,分别约为-0.2和2.2
(3) 确定方程x2+4x+1=0的解;
由此可知,方程x2+4x+1=0的近似根为:
x1≈-0.2, x2≈2.2
问题2：利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.
分析解答：
(1) 原方程可变形为3x2-x-1=0；
(2) 用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象
(3) 观察估计抛物线y=3x2-x-1和x轴的交点的横坐标；
图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在
-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8.
（4） 可估计x1≈-0.4, x2≈0.8
活动目的：本环节是考察同学们是否理解了用图象法求方程根的方法，能否快速准确的利用图象探求方程根的近似值，观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化简单情况解决。
实际教学效果：在课堂巡视观察中，学生基本上掌握了用图象法估计方程根的方法，对第（2）小题也都能自觉转化为简单情况加以解决，说明学生基本上都掌握了本节课的学习任务。但他们也表示以后真的碰到这个问题时，他们准备先用求根公式把根计算出来，估计出根的近似值，再同时画出图象会更加快捷一些。

第六环节 归纳小节、说一说
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，通过学生的发言，观察他们是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，是否掌握了用画图象的方法来探求方程根的方法。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，他们普遍认同了函数问题研究时，应该用数形结合思想从两方面来考虑问题，说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成 。但他们也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便，有时从“形”的一面研究问题会更简洁些。

四、教学反思
1．要准确把握教材的设计意图
开始备课时，我并没有认为这节课有多大的必要性，认为学生只要会用求根公式就行了。但在教学时，看到学生动手画图、计算、估值、讨论的投入样子，我逐渐明白了本节课的设计意图不仅仅是看重结果，更重要的是过程。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
要想让学生爱数学，必须让他们对数学感兴趣，让他们有学习数学成功的体验。教学中相信学生，并为不同层次学生设计、提供展示自己的机会，多给予肯定的评价。
3．注意改进的方面
本节课由于前面复习巩固旧知识的内容较多，评讲的时间也响应长了些，影响了后面新知识的充分展开，课堂小结时显的有些仓促。