第27章相似 (2).doc

第二十七章 相似
一、选择题
1.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为(　　)

A． 1
B．
C．
D． 2
2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为(　　)

A． 2
B． 8
C． 16
D． 24
3.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(　　)

A． 甲对，乙不对
B． 甲不对，乙对
C． 两人都对
D． 两人都不对
4.关于对位似图形的表述，下列命题正确的有(　　)
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k·OP′.
A． ①②③④
B． ②③④
C． ②③
D． ②④
5.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为(　　)

A． 40 m
B． 60 m
C． 120 m
D． 180 m
6.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是(　　)

A． 75米
B． 25米
C． 100米
D． 120米
7.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A、B间距离的有(　　)

A． 4组
B． 3组
C． 2组
D． 1组
8.小刚身高180 cm，他站立在阳光下的影子长为90 cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115 cm，那么小刚的手臂超出头顶(　　)
A． 35 cm
B． 50 cm
C． 25 cm
D． 45 cm
9.观察图中各组图形：

其中形状相同的有(　　)
A． 1组
B． 2组
C． 3组
D． 4组
10.如图，在平面直角坐标系中，点A在△ODC的OD边上，AB∥DC交OC于点B.若点A、B的坐标分别为(2,3)、(2,1)，点C的横坐标为2m(m＞0)，则点D的坐标为(　　)

A． (2m，m)
B． (2m,2m)
C． (2m,3m)
D． (2m,4m)
二、填空题
11.如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E.AB交EF于D.给出下列结论：
①△ABC≌△AEF;②∠AFC＝∠C；③DF＝CF;④△ADE∽△FDB
其中正确的结论是____________(填写所有正确结论的序号)．

12.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC和△A′B′C′都是格点三角形，请问△ABC和△A′B′C′是否相似？答：______________；若相似，它们的相似比等于__________．

13.如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O.若AD＝AO，则△ABC与△DEF的位似比为__________．

14.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.
15.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．

16.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为_________．

17.如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A、B、C、D、O都在横格线上，且AD、BC为线段．若线段AB＝4 cm，则线段CD＝________ cm.

18.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1等于________．

19.图中的两个四边形相似，则x＋y＝__________，α＝__________.

20.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.
三、解答题
21.如图△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(3,0)．
(1)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.
(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，求△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标．

22.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．
(1)求证：△ABC∽A′B′C′；
(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．

23.如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，试判断△ADE与△ABC是否会相似．

24.如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1,0)．
(1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标；
(2)正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．

25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.

26如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．

27.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝14；
(1)求AB、BC的长；
(2)如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．

28.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

答案解析
1.【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EFG＋∠EGF＝90°，
∴∠AFB＋∠DGC＝90°，
∵∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DGC，
∴△AFB∽△DCG，
∴＝，
∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，
∴AF＝3，DG＝1，
∴AB2＝AF·DG＝3，
∴AB＝.
故选C.
2.【答案】C
【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA，
∴OA∶OD＝1∶2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶4，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为16.
故选C.
3.【答案】A
【解析】甲：根据题意，得AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；

乙：∵根据题意，得AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3＋2＝5，A′D′＝B′C′＝5＋2＝7，
∴＝＝，＝＝，
∴≠，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选A.
4.【答案】B
【解析】①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；
②位似图形一定有位似中心；正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k·OP′；正确．
故选B.
5.【答案】C
【解析】∵RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴RQ∥TS，
∴△PQR∽△PSR，
∴＝，即＝，
∴PQ＝120.
故选C.
6.【答案】C
【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°.
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB∽△EDC.
∴＝，即＝.
解得AB＝100米．
故选C.
7.【答案】B
【解析】①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③因为△ABD∽△EFD，可利用＝，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选B.
8.【答案】B
【解析】设手臂竖直举起时总高度xm，则＝，解得x＝50 cm.
故选B.
9.【答案】C
【解析】(1)组形状相同；(2)组形状相同；(3)组形状相同；(4)组形状不同，较大的图形上多出了上面的图案．
故选C.
10.【答案】C
【解析】∵AB∥CD，
∴△OAB和△ODC是以原点为位似中心的位似图形，
而B(2,1)，C点的横坐标为2m，
∴把A点的纵坐标乘以m可得D点的纵坐标，
即点D的横坐标为(2m,3m)．
故选C.
11.【答案】①②④
【解析】在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF，故①正确，
∴AC＝AF，
∴∠C＝∠AFC，故②正确，
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，故④正确，
无法证明DF＝CF，故③错误．
12.【答案】相似　
【解析】△ABC∽△A′B′C′；
根据题意，得AC＝1，BC＝，AB＝，A′C′＝，B′C′＝2，A′B′＝，
∵＝＝，
＝，＝＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
13.【答案】
【解析】∵O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O.
AD＝AO，
∴＝，
则△ABC与△DEF的位似比为.
14.【答案】
【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，
∴＝＝.
15.【答案】9∶14
【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，
∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，
∴设①的直角边为x，
∴②的直角边为2x，
设正方形的边长为y，
∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，
∴①∶(①＋③)＝1∶42，
即x2∶3xy＝1∶42，
∴y＝7x，
∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，
∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.
16.【答案】(2，)
【解析】∵△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，
∴AC的中点是(4,3)，
∵将△ABC缩小为原来的一半，
∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为(2，)．
17.【答案】6
【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则E、O、F三点共线，

∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴＝，
即＝，
∴CD＝6 cm.
18.【答案】3∶2
【解析】∵PA1＝PA，
∴PA∶PA1＝3∶2，
又∵AB∶A1B1＝PA∶PA1
∴AB∶A1B1＝PA∶PA1＝3∶2.
19.【答案】63　85°
【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以 18∶4＝x∶8＝y∶6，解得x＝36y＝27，则x＋y＝36＋27＝63.
α＝360°－(77°＋83°＋115°)＝85°.
20.【答案】8
【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，
∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，
又∵a＋b＋c＝24，
∴k＋3k＋2k＝24，
∴k＝4，
∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.
21.【答案】解　(1)如图，△DEF和△D′E′F′为所作；

(2)点M对应的点M′的坐标为(2a,2b)或(－2a，－2b)．
故答案为(2a,2b)或(－2a，－2b)．
【解析】(1)把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF把点A、B、C的横、纵坐标都乘以－2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；
(2)利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．
22.【答案】(1)证明　∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，
∴＝＝，
∴△ABC∽A′B′C′；
(2)解　如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，
位似比为2.

【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；
(2)利用位似图形的性质得出答案．
23.【答案】解　△ADE∽△ACB；理由如下：
∵AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB.
【解析】由已知条件证出＝，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．
24.【答案】解　(1)如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标为(0,0)；

(2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1,0)，
∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，则A3O＝A3C3＝4，
∴OA4＝A4C4＝8，
则OA5＝16，
故A4(8,0)，A5(16,0)，B4(16,8)，C4(8,8)．
【解析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；
(2)利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．
25.【答案】证明　∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C.
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBD.
【解析】先根据垂直的定义，得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C.再由∠B＝∠B即可得出结论．
26.【答案】解　在△ABC与△AMN中，＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AMN，
∴＝，即＝，
解得MN＝1 500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；
【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．
27.【答案】解　(1)∵AD∥BE∥CF，
∴＝＝，
∴＝，
∵AC＝14，∴AB＝4，
∴BC＝14－4＝10；
(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：

又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，
∴AD＝HE＝GF＝7，
∵CF＝14，
∴CG＝14－7＝7，
∵BE∥CF，
∴＝＝，
∴BH＝2，
∴BE＝2＋7＝9.
【解析】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出＝，即可求出AB的长，得出BC的长；
(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
28.【答案】解　(1)所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M1的坐标(a－7，b－3)；
(2)所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(－1，－4)．

【解析】(1)找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；
(2)根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可．