第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类：

(2)异面直线所成的角：
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：．
(3)定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系

图形语言
符号语言
公共点
直
线
与
平
面
相交

a∩α＝A
1个
平行

a∥α
0个
在平面内

a⊂α
无数个
平
面
与
平
面
平行

α∥β
0个
相交

α∩β＝l
无数个
　　[做一做]
1．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A
答案：C
2．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是(　　)
A．异面　　　　　　　　　 B．相交
C．平行 D．异面或相交
答案：D

1．辨明三个易误点
(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．
(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．
(3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
2．证明共面问题的两种途径
(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
3．证明共线问题的两种途径
(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
[做一做]
3．下列命题正确的个数为(　　)
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选C.经过不共线的三点可以确定一个平面，
∴①不正确；
两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，
∴③正确；
命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．
4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)

解析：选D.A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．

__平面的基本性质______________________

　如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
[证明]　(1)连接EF，CD1，A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点，
∴EF∥BA1，
又A1B∥D1C，

∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．
[规律方法]　(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．
(2)要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．
　1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
∴GH∥BD，∴EF∥GH.
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．
__空间两直线的位置关系______________

　如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
[解]　(1)不是异面直线．
理由：连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN∥A1C1.
又因为A1A綊C1C，
所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线．
理由如下：
因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，
所以B，C，C1，D1不共面．
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，
这与B，C，C1，D1不共面矛盾．
所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线．
[规律方法]　异面直线的判定方法：
(1)定义法：依据定义判断(较为困难)．
(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线．(此结论可作为定理使用)．
(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
　2. 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
答案：③④
__异面直线所成的角(高频考点)__________

从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题；高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度：
(1)求异面直线所成角；
(2)由异面直线所成角求其他量．
　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
[解]　(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.

(2)连接BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
　若本例中“正方体”改为“正四棱柱”且异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，试求：的值．
解：设AB＝1，AA1＝t，
由题意知∠A1BC1为所求，
又A1C1＝，A1B＝＝BC1，
∴cos∠A1BC1
＝＝，
∴t＝3，即＝3.

[规律方法]　用平移法求异面直线所成的角的三步法
(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
　3.(1)(2015·安徽省江南十校联考)已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD内有且仅有1个点到顶点A1的距离为1，则异面直线AA1，BC1所成的角为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2015·广州调研)在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为(　　)
A. B.
C. D.

(3) 如图所示，点A是平面BCD外一点AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，则异面直线AD和BC所成的角为________．

解析：(1)由题意可知，只有点A到A1距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线AA1，BC1所成的角是.
(2)设AC∩BD＝O，连接VO(图略)，因为四棱锥V­ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO，又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为，故选D.
(3)如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.
因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC且EG＝BC＝1，FG∥AD，
且FG＝AD＝1.则∠EGF即为所求，又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.

答案：(1)B　(2)D　(3)90°

方法思想——判断空间线面位置关系(构造法)

　　　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
[解析]　 法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．

法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．
[答案]　无数
[名师点评]　1.本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大．
2．注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此不能解决．
3．点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．
　　　已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　)
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n异面、相交、平行均有可能
解析：选D. 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．

1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
解析：选C由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．
2．已知A、B、C、D是空间四个点，甲：A、B、C、D四点不共面，乙：直线AB和直线CD不相交，则甲是乙成立的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为A、B、C、D四点不共面，则直线AB和直线CD不相交，反之，直线AB和直线CD不相交，A、B、C、D四点不一定不共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．
3. 如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)

A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
解析：选D.∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
4. 如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)

A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：选A.连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
5. 如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为(　　)

A. B．－
C. D．－
解析：选A. 延长CD至H.使DH＝1，连接HG、HF，则HF∥AD.
HF＝DA＝2，
GF＝，HG＝.
∴cos∠HFG＝＝.

6．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定__________个平面．
解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．
答案：1或4
7. 如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．

解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.
答案：AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD
8. 如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．

解析：∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′C′C，
∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.
又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.
答案：30°
9. 如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．

(1)求证AE与PB是异面直线；
(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．
解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.
∵A∈α，B∈α，E∈α，
∴平面α即为平面ABE，
∴P∈平面ABE，
这与P∉平面ABE矛盾，
所以AE与PB是异面直线．
(2) 取BC的中点F，
连接EF、AF，
则EF∥PB，
所以∠AEF或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角．
∵∠BAC＝60°，
PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，
∴AF＝，AE＝，EF＝，
cos∠AEF＝

＝＝，
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.

10. 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊AD.又BC綊AD，
故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．
理由如下：
由BE綊FA，G是FA的中点知，BE綊GF，
所以EF綊BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．
又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．