福建省2013高考数学(理)压轴卷及答案.doc

系列资料
福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷
数学理科试题
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
锥体体积公式：
，其中为底面面积，为高
球的表面积、体积公式
，
其中为球的半径
样本数据，，，的标准差

其中为样本平均数
柱体体积公式

其中为底面面积，为高
参考公式：

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）
1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知集合， ,且,则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

4．设z=x+y，其中x，y满足当z的最大值为6时，的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
第5题图
开始
n = r
输入正整数m, n
求m除以n的余数r
m = n
r = 0?
输出n
结束
5．阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入，则输出的值为（ ）
A. 12 B. 6 C. 3 D. 0
6．的三个内角对应的边分别，且成等差数列，则角等于（ ）
A . B.
C. D.
7．设，则二项式展开式中的项的系数为（ ）
A . B. 20
C. D. 160
第8题图
8.如下图所示，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率（ ）
A. B. C. D.
9．已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．设是长为2的线段，点集所表示图形的面积为（ ）
A. B. C. D.

2
1
3
第10题图
10．如下图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
（1） 每次只能移动一个金属片；
（2） 在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
若将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则=（ ）
A. 33 B. 31 C.17 D. 15

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为
12.在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为8，则
13.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为且 ，记矩形
的周长为，则
14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
俯视图
2
2
侧视图
1
1
正视图
2
1
第14题图
第13题图

15.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．
设：由曲线和直线，所围成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；由同时满足，，，的点构成的平面图形,绕轴旋转一周所得到的旋转体为.根据祖暅原理等知识，通过考察可以得到的体积为
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分13分)
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（Ⅰ）设函数，试求的伴随向量的模；
（Ⅱ）记的伴随函数为，求使得关于的方程在内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．xKb 1.Co m

17．（本小题满分13分）
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．

18．（本小题满分13分
如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， ∥，，，．
⑴证明：平面平面；
⑵当三棱锥体积最大时，求二面
角的余弦值．

19．（本小题满分13分）
已知圆，椭圆．
（Ⅰ）若点在圆上，线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点的横坐标；
（Ⅱ）现有如下真命题：
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”；
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”．
据此,写出一般结论，并加以证明．
20．（本小题满分14分）已知函数，（）
（1）若函数存在极值点，求实数b的取值范围；
（2）求函数的单调区间；
（3）当且时，令，()，()为曲线y=上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由。

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.
(Ⅰ) 求矩阵A；
(Ⅱ) 若矩阵B=，求直线先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.
(3)（本小题满分7分）选修：不等式选讲
（I）试证明柯西不等式：
（II）已知，且，求的最小值．

福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷
数学理科试题参考答案

1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14． 15.
16．解：（Ⅰ）∵， ……… 2分
∴． ………………………… 4分
故. ……………………… 5分

（Ⅱ）由已知可得，………………7分
∵， ∴，w W w . x K b 1.c o M
故. ……………………… 9分
∵当时，函数单调递增，且；
当时，函数单调递减，且.
∴使得关于的方程在内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为． … 13分

17．（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件，
则 ，
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为． ………………4分
（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为． ………………5分
， ，
， ，
． ………………10分
所以，随机变量的分布列为:

………11分
． ………………13分
18．（Ⅰ）证明：因为是直径，所以 ………………1分，
因为平面，所以 ………………2分，
因为，所以平面 ………………3分
因为， ，所以是平行四边形，，所以平面 ………………4分，
因为平面，所以平面平面 ………………5分
（Ⅱ）依题意， ………………6分，
由（Ⅰ）知
，当且仅当时等号成立 ………………8分
如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，则，，， ……………………9分

设面的法向量为，，即， ……………………10分
设面的法向量为 ，即， ……………12分
可以判断与二面角的平面角互补二面角的余弦值为。 ……………………13分
19. 解法一：
（Ⅰ）设点，则， （1）　　 ……………………1分
设线段的垂直平分线与相交于点，则，……2分
椭圆的右焦点， ………………3分
,， ，
， （2）…………………………4分
由（1），（2），解得 ，点的横坐标为． ……………5分
（Ⅱ）一般结论为：
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．” ……………………………6分
证明如下：
（ⅰ）当过点与椭圆相切的一条切线的斜率
不存在时，此时切线方程为，w W w .X k b 1.c O m
点在圆上 ，，
直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线
两切线互相垂直．………………………………7分
（ⅱ）当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时，
可设切线方程为，
由得 ，
整理得，……………8分
直线与椭圆相切，
，
整理得，………………………9分
， ………………………10分
点在圆上，， ，，两切线互相垂直，
综上所述，命题成立．…………………………………………………13分
解法二：
（Ⅰ）设点，则， （1）……………………………1分

椭圆的右焦点，………………………………2分
点在线段的垂直平分线上， ，
， ， （2）……4分
由（1），（2），解得， 点的横坐标为．……………5分
（Ⅱ）同解法一．
20. 解：（Ⅰ），若存在极值点，则有两个不相等实数根。所以， ……………2分
解得 ……………3分
(Ⅱ) ……………4分
当时，，函数的单调递增区间为；……………5分

当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。
……………7分
（Ⅲ） 当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。则且。……………8分
不妨设。故，则。，该方程有解
………………………………………………9分
当时，则，代入方程得即，而此方程无实数解； …………………………10分
当时，则； …………11分
当时，则，代入方程得即， …………………………………12分
设，则在上恒成立。在上单调递增，从而，则值域为。
当时，方程有解，即方程有解。…………13分
综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。………………………………14分
21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得，所以 …………2分
解得 故A=. ……………………………………………………3分
(Ⅱ) BA==，因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两点（0，1），（-1，2）， …………………………………………4分
，，由得：（0，1），（-1，2）在矩阵A所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） ……………………………6分
从而直线在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为.…………7分
（2）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为，
又,
所以曲线的直角坐标方程为 …………………3分
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得,…………4分
令,得,即点的坐标为(2,0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(0,1)，
半径，则,……………………………………………………6分
所以.即的最大值为……………………7分
（3）（Ⅰ）证明：左边=,
右边=,
左边右边 , ………………2分
左边右边 , 命题得证 . ………………………3分
（Ⅱ）令，则,
, ,
, ………………………4分
由柯西不等式得：, ………………………5分
当且仅当，即，或时………6分
的最小值是1 . ……………………7分
解法2：, ,
, ………………4分
， ………………………5分
当且仅当，或时 …………………6分
的最小值是1. ………………7分

X|k | B| 1 . c|O |m