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《田忌赛马》探究教学案例
英山实验小学 冯青春
　　一、基本情况分析
　　《田忌赛马》是人教版四年级上册第七单元“数学广角”例4的教学内容。从故事“田忌赛马”引入对策论的应用问题，对策论研究的是竞争的双方各自采取什么对策才能够战胜对手，让学生体会到对策论的方法在生活、比赛中的重要性。本节课教师在对学生自主探究进行指导时，需要注意如下几点。
　　（一）引导学生通过探究活动学习有序思考。
　　田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？学生的探究方法是把所有可以采用的策略列出来，发现田忌可以采用的策略一共有6种，但其中只有一种也就是他所使用的方法是唯一可以获胜的。教师应在学生探究应对方案时有针对性的引导学生理解，有序思考能够做到不重复不遗漏，可以更快地寻找到应对的策略
 　　（二）给学生创设更具探究空间的学习情境。
 　　“田忌赛马”获胜的必要条件有哪些？“田忌赛马”不仅仅是一个故事，而是一种策略。这一策略并不是“必胜宝典”，还是需要一定的前提。但学生对田忌赛马故事内容熟悉，在教学中如果仅依赖“田忌赛马”的故事本身，不利于学生从对策论的角度进行探究。因此，教学中教师可以提供与“田忌赛马”同样结构的探究材料，以便于学生不断尝试、比较、发现、概括、归纳。具体地讲，通过比较两组扑克牌（各三张）的大小，分别经历“实力悬殊，胜负分明”“实力稍逊,以弱胜强”“实力同等，智者为王”从而充分理解“田忌赛马”的具体对策和获胜的必要条件。
（三）引导学生理解和应用探究的结果。
 　　田忌的这种策略在生活中还有哪些应用？课堂实践发现，四年级学生很难自主突破“田忌赛马”的模型，生活中也很少关注体育竞技比赛背后的方案布局，所以课堂上面对如上任务，往往是一片沉寂。在本节课的教学中，可变自行探究为欣赏分析，即教师提供一系列对策论的应用案例，让学生了解或描述具体对策。
　    二、教学理念
　　 1．丰富过程感悟，重在自主探究
　　 数学广角的教学，更要凸显过程性。如果仅仅让学生知道“田忌用下等马应对齐王的上等马，用中等马应对齐王的下等马，用上等马应对齐王的中等马，最后获胜”的方法，那么只需要讲故事即可。作为数学课应该立足过程，让学生自己用数学的方法进行自主探究，充分交流不同的学习成果，在这些探究活动中获得一些活动经验，充分理解和应用策略或者得到某个数学结论。
　　 2．设计有结构的材料，提供更大的探究空间。
　　 适切的材料是学生探究活动能否成功的关键。探究材料必须具备以下特点：有结构，保证探究过程的丰厚；承载核心问题，保证探究活动的方向；学生容易理解和表达，保证探究活动的效度；探究空间大，促进思维提升。
三、教学目标
 　　1．通过比较扑克牌点数的大小，让学生初步体会对策论方法在实际中的应用，感受对策在生活中的重要作用。
 　　2．尝试用数学方法来解决实际生活中的简单问题，使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。
 　　3．初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，初步感知对策的数学思想方法。
　　 四、教学过程 
 　　（一）通过比较扑克牌大小，了解基本应对规则。
　　1．游戏引入：比点数大小，一对一PK。
 　　（1）红牌分别是10、7、4；黑牌分别是3、2、1，比较双方点数的大小。
 生1：红10大于黑3，红7大于黑2，红4大于黑1；红方获胜。
 生2：三张黑牌点数加起来也比10小。
 生3：这三张黑牌都比红牌中最小的“4”还要小。
 师：这就说明，红牌和黑牌双方大小悬殊明显，胜负分明。 
 　　（2）红牌不变，黑牌变为9、6、3，再次比较。比赛的结果会是怎样？说说你的理由。
 生1：红方获胜；红10大于黑9，红7大于黑6，红4大于黑3。
 师：三局比赛都是红方获胜，所以最终是红方胜。
 　　2．抛出问题，突破定势。
 师：红10与黑9比，红7与黑6比，红4与黑3比。这是双方对局的一种方法，请同学们想一想：
 （1）还有没有其它的应对策略？一共有几种？
 （2）在不同的比较过程中，黑牌是不是一定没有机会获胜？
 师：请同学们把不同的应对策略都填在表格中，如果有困难可以同桌交流。
  第一局 第二局 第三局 获胜方 
　红牌　　 10 　　7 　　4   
　黑牌1     
　黑牌2     
　黑牌3     
　……     
         　　学生活动。
 　　设计说明：用游戏“比扑克牌的大小”代替故事“田忌赛马”，克服“策略皆知”的问题，学生又十分投入扑克牌游戏，有了探究“还有没有其它的应对策略呢？一共有多少种？黑牌是否有机会获胜”的欲望。通过第一次比较大小，让学生明确“一对一，比大小”、“A”在游戏中代表“1”等规则。在课堂上学生总喜欢分别求出两组数的和再比较大小（也许是我们学生“看数就算”的条件反射吧），因此需要教师再次明确规则。通过第二次比较大小，引出与“田忌赛马”相同模型的数据，并且让学生突破根据扑克牌上下位置一一比较的定势，如红牌10可以和黑牌任意一张牌比较大小。
　　 教师指导策略：全面了解学生认知特点，突破学生思维定势。教师在教学中对学生生活经验、思维习惯、思维水平、表达方式等方面的把握越准确，对学生的指导就会更有效。如学生看到课件中的红牌和黑牌，就喜欢上下对应进行一一比较，方法趋向唯一。面对如此状况，就应该调整红、黑牌的位置，变上下排放为左右排放，利于突破定势，使比较方法多样。这样的小细节，恰恰是影响学生思维的节点，都需要教师关注。
（二）在数学活动中体会策略的多样性，初识取胜的应对方法。
　　 1．分层反馈，感受应对策略的多样及思维的有序。
　　（1）反馈不完整的、无序的方案，突出每一局的比较结果及最后的获胜方。
　　 师：这位同学写了三种方案，我们来看看分别是哪一方取胜？（教师指这红、黑方的点数，学生一一判断，三局中黑方、红方分别赢了几次？）
　　 （2）反馈有序思考的完整方案，引导体会优势。
　　 出示学生作品，如下：
  　　　　 第一局  第二局  第三局  获胜方 
　红牌　　　 10　　　 7 　　　4   
　黑牌1　　　 9　　　 6 　　　3 　　红方 
　黑牌2 　　　9 　　　3 　　　6 　　红方 
　黑牌3　　　 6　　　 9　　　 3　　 红方 
　黑牌4 　　　6 　　　3 　　　9　　 红方 
　黑牌5　　　 3 　　　9 　　　6 　　黑方 
　黑牌6 　　　3 　　　6　　　 9　　 红方 
 师：请这位同学介绍他的方法。
 生：当红牌出10时，黑牌出9，后面两局就有两种不同的应对方案，就是交换6、3的顺序；当红牌出10时，黑牌还可以出6，后面两局只要把9、3交换顺序；当红牌出10时，黑牌还可以出3，后面两局只要把9、6交换顺序。
 师：同学们听懂了吗？他的方法有什么地方值得我们借鉴？
 生：他在排列时很有顺序，这样就不会漏掉了。
 2．初步感受黑牌（弱队）取胜的策略。
 师：我们发现当红牌分别出10、7、4时，黑方一共有6种应对方案。请看表格，你发现了什么？
 生：6种方案中只有一种情况是黑方赢的。
 生：红方赢的可能性大。
 师：是的，一看红、黑牌的点数，觉得红方要比黑方大一些，但现在看来，黑方还是有取胜的可能，想一想，这种取胜的方法有什么高明之处？
 生：用黑牌中的3去应对红方的10，用9应对红方的7，用6应对红方的4，黑方就赢了两局。
 生：只要保证黑方赢两局就可以了。
 生：用小牌去碰大牌。
 师：刚才我们是怎样找到这种高明的方法？
 　　学生回答后总结：把解决问题的所有可能性一一找出来，并从中找到最好的策略，这是数学中一种很重要的方法。 （课件出现）
　　 设计说明：“尝试用数学方法来解决实际生活中的简单问题，使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识”是本节课的重要目标。学生的学习过程是：凭直觉得到一种方案，通过教师提问引导，思考得到所有的方案，并又一次感受到有序思考的力量，最后找到最优的方案。显然，这样的过程使学生畅游在数学思维之中，既有认识上的冲击，又有方法的共享，学生很尽兴。
　　 教师指导策略：在学生探究过程中，教师要适度引导。通过适时的提问是教师实施指导功能的重要方式。如学生能有序排列所有方案时，教师及时提问“他的方法有什么地方值得我们借鉴？”，使学生在欣赏中进一步感受数学思想方法的魅力。又如当学生发现黑方有一种方法可以取胜时，教师提问“这种取胜的方法有什么高明之处？”，让学生的思维从取胜可能性的大小”转向“如何取胜”，当然，此时还不能期待学生非常概括的表达取胜方法，只需结合具体应对方法初步感受取胜策略即可。在第一次课堂教学中，学生回答“用黑3应对红10”时，教师还追问“为什么不能用6对10”，希望学生提炼出“用黑方最小的牌去应对红方最大的牌”，事实上学生只凭一次的方法感受还不足以高度概括，否则就是“赶鸭子上架”，为难学生了。
教师指导策略：学习材料的设计和选择是探究活动的基础。本节课在引导学生进行自主探究时也经历了对材料的“取舍”过程。（1）故事“田忌赛马”何去何从？在本案例的研究中，考虑到很多学生已经知道故事“田忌赛马”的结论了，因此经过实践研究，最后把它定位于“应对策略基本清晰后的简单呈现，在联系沟通中内化策略”，同时又十分自然的引出了策略名称。（2）“报数”游戏的改造。教材116页还提供了一个“报数”游戏：两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是10，谁就获胜。其目的在于让学生从“田忌赛马”的策略中走出来，拓展学生对不同策略的认识。“报数游戏”和“田忌赛马”都需要运用策略取胜，但两者在具体策略上却截然不同。尽管我们也认识到具体应对方法不是最重要，不能拘泥于细节和局部的讨论，更重要的是让学生体会运筹思想，感悟对策论方法在实际中的应用。可是看到学生在经历“报数”游戏中，苦苦寻求策略而不得时，我们想到了“舍弃”，并构想学生通过了解生活中应用策略的例子，来体会运筹思想和对策论方法。但最后还是保留了数学游戏，因为能更好地实现“尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题”的目标。于是作了一些改造，成为“取棋子”活动，既便于学生动手操作（圈一个棋子或两个棋子），又能留下活动过程的静态图，便于学生觉察到关键点“7”“4”“1”，从而领会获胜策略。另外，在学生探究中遭遇思维搁浅时，需要教师及时提示。如学生在取棋子游戏中无从研究时，教师就可以提示学生思考：因为每次可报1或2，如果你想取到最后一颗棋子，前一颗就必须取到哪一颗？还可以提示学生观察每一次取棋子的示意图，从而使学生豁然开朗，走出思维迷途。