三角函数3.docx

§4.3　两角和与差的正弦、余弦、正切

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))
tan(α－β)＝　(T(α－β))
tan(α＋β)＝　(T(α＋β))
2.二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
4.函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α) ＝cos(α－φ)(其中tan φ＝).

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的. (　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. (　　)
(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定. (　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立. (　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α. (　　)
(6)当α＋β＝时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. (　　)
2.(2013·浙江改编)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝ .

3.(2012·江西改编)若＝，则tan 2α等于 .

4.(2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 .

5.(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝ .

题型一　三角函数式的化简与给角求值
例1　(1)化简：(0<θ<π).
(2)求值：－sin 10°(－tan 5°).

　(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为 .
(2)的值是 .

题型二　三角函数的给值求值、给值求角
例2　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值.

　(1)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)等于 .
(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于 .

题型三　三角变换的简单应用
例3　已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.

　(2013·北京)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x.若α∈，且f(α)＝，求α的值.

高考中的三角变换问题

典例：(20分)(1)若tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则＝ .
(2)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
(3)(2012·大纲全国改编)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝ .
(4)(2012·重庆改编)＝ .

方法与技巧
1.巧用公式变形：
和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)有≥|y|.
3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.
失误与防范
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.
2.在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的.
3.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.

A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
一、填空题
1.若sin(＋θ)＝，则cos 2θ＝ .

2.若θ∈[，]，sin 2θ＝则sin θ等于 .

3.已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 .

4.若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为 .

5.在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则C＝ .

6.若tan α＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为 .

7.(2013·重庆改编)4cos 50°－tan 40°＝ .

8.＝ .

二、解答题
9.已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.

10.已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值.