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数学模型B 试卷及参考答案
一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）
1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）
答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)
答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)
答：（1）可处理非线性
；（2）并行结构．
；（3）具有学习和记忆能力
；（4）对数据的可容性大
；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分)
证明:
记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.
设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，
则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F（a）<0, F(b)>0,
由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)
解:模型构成
记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为，k=1，2,........，，=0，1，2，3。将二维向量=（，）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S。S= （3分）
记第k次渡船上的商人数为随从数为将二维向量=（，）定义为决策。允许决策集合记作D，由小船的容量可知
D= （3分）
状态随的变化规律是： = + （3分）
模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）

三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）

1、试用和法求出A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）。

答： 中各列归一化
各行求和 = 2分 而，（1分）　所以最大特征根为
　　　　 　　2分
其一致性指标为： CI=　　　　　　　　　 2分
CR= 所以A不通过一致性检验。 2分

2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。(9分)
答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)
3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2, 缺货损失费为C3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分）
解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C3 ，当t=T1时产品已用完
4. 生产周期为T，产量为Q (2分)
模型建立
一周期总费用如下: (2分)
一周期平均费用为 (2分)
模型求解: 用微分法解得周期 (1分)
产量 (1分)
4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。
设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。
解：状态
依歇易得转移概率阵为 2分
记， 则
………… （1分）
易是： （2分）

（3分）
由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为 。 （1分）
5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）

(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况
(2)如何获得最大持续产量
解:
令，
的最大值点为 （2分）
当时,无平衡点 （1分）
当时,有两个平衡点和,
经过判断x1不稳定,x2稳定 （2分）
当时,平衡点,由不能判断它稳定性 （2分）
(2)为了获得最大持续产量,应使且尽量接近,但操作困难 （2分）

四、 建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型
即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解）
解：假设、和分别表示第室的血药浓度，药量和容积，是两室之间药物转移速率系数，是从中心室（第1室）向体外排除的速率系数 ……………3分
则……（1） ……………6分
（其中是给药速率） 及
于是： …………4分

2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A产品2公斤，A产品可获利30元/公斤 ，或加工8小时可生产B产品3公斤，B产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C产品4公斤，C产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为60桶，加工工时至多为460小时，且A产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。

答：设每天安排x1桶原料生产A产品，x2桶原料生产B产品，x3桶原料生产C产品，则有：

参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分

数学模型B参考答案（电气05年12月）第5 页（共5页）