1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、连通区域,二、格林公式,三、曲线积分与路径无关条件,四、二元函数全微分求积,第三节 格林公式及其应用,第1页,第1页,复连通区域,单连通区域,D,D,一、连通区域,第2页,第2页,二、格林公式,第3页,第3页,边界曲线,L,正向:当观测者沿边界行走时,区域,总在观测者左边.,第4页,第4页,证实:,y,x,O,a,b,D,c,d,C,E,第5页,第5页,同理可证,y,x,O,a,b,D,c,d,C,E,第6页,第6页,D,两式相加得,第7页,第7页,D,第8页,第8页,G,D,F,C,E,A,B
2、由(2)知,第9页,第9页,G,D,F,C,E,A,B,格林公式实质,：,沟通了沿闭曲线曲线积分与,二重积分之间联系.,格林公式也能够写成,第10页,第10页,x,y,O,L,A,B,解,（,取正向边界曲线,）,引入辅助曲线：,第11页,第11页,解,则,应用格林公式,有,x,y,O,第12页,第12页,解,第13页,第13页,x,y,O,L,y,x,o,由格林公式知,应用格林公式,得,第14页,第14页,x,y,o,(,注意格林公式条件,),(其中,l,方向,取逆时针方向),第15页,第15页,利用格林公式计算平面图形面积,第16页,第16页,解,第17页,第17页,G,y,x,O,B,A
3、三、曲线积分与路径无关条件,第18页,第18页,证实,充足性由格林公式直接得证,.,第19页,第19页,下面证实条件(1)是必要.,用反证法.,第20页,第20页,由格林公式及二重积分性质有,这与假设相矛盾，即条件(1)是必要.,因此,第21页,第21页,四、二元函数全微分求积,第22页,第22页,证实,则必有,从而有,由定理条件，有,即条件(2)是必要.,先证必要性.,第23页,第23页,再证充足性.,下面证实,第24页,第24页,由偏导数定义，有,由(3)式，得,第25页,第25页,因此,由定积分中值定理，得,因此得到,第26页,第26页,同理可证,即条件(2)是充足.,第27页,第27页,解,因此原积分与路径无关，,原式=,第28页,第28页,解,由积分与路径无关可知,故,第29页,第29页,
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